El estudio de los triángulos

Los antiguos griegos, encabezados por Euclides, fueron las primeras personas que estudiaron y postularon las primeras líneas de la geometría del triángulo.  Un triángulo es  un polígono de tres lados (designados por letras minúsculas) y tres vértices (designados con letras mayúsculas).

Tipos de triángulos

Las taxonomías de los triángulos se rigen por dos criterios principales, basadas en las características de los lados y los ángulos:

• Tres tipos de triángulos según sus lados. Equilátero, Isósceles y Escaleno.

• Tres tipos de triángulos según sus ángulos. Acutángulo, Rectángulo y Obtusángulo.

Clasificación de los de ángulos

El segundo criterio anterior se basa en el estudio de los ángulos del triángulo. Por su parte, los ángulos también se pueden clasificar en función de tres criterios principales.

• Tipos de ángulos en función de la posición de las semirrectas. Ángulo nulo, Ángulo recto, Ángulo llano y Ángulo completo.

• Tipos de ángulos en función de la abertura. Esta es la clasificación mejor conocida y que da nombre a la clasificación vista anteriormente en los triángulos. Ángulo agudo, Ángulo recto, Ángulo obtuso y Ángulo llano.

• Clasificación de los ángulos según la posición relativa. Ángulos externos, Ángulos opuestos por el vértice, Ángulos consecutivos y Ángulos adyacentes.

De la mano de Euclides, desde la Edad Antigua se sabe que la suma de los ángulos cualquier triángulo (independientemente de su tipo) debe ser 180°.

Triángulos semejantes y congruentes

¿Qué pasa cuando nos encontramos con dos triángulos que tienen la misma forma pero distinto tamaño? Básicamente, los denominaremos triángulos semejantes. Se dice que dos figuras (no tienen por qué ser solo dos triángulos) son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales. Entonces, una semejanza transforma una figura en otra semejante a través de lo que se llama razón de semejanza. Para calcular la razón de semejanza, se divide una longitud de la figura transformada entre la longitud correspondiente de la figura original.

¿Qué pasa cuando tenemos dos triángulos con la misma forma y el mismo tamaño? Pues que estamos ante lo que denominamos triángulos congruentes. Es decir, dos figuras son congruentes cuando tienen los lados iguales y presentan el mismo tamaño.

 

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair

El origen de la Geometría

Todo el mundo ha oido alguna vez en su vida la palabra geometría, pero muy poca gente conoce su verdadero origen. Esta palabra deriva de los términos griego "geo" (Tierra) y "metron" (medida). En efecto, geometría significa literalmente medida de la Tierra. No es de extrañar este nombre porque la geometría nos permite apreciar la naturaleza de muchas cosas de nuestro mundo y del universo.

Los prioneros de la Geometría 

Según el historiador griego Herodoto (siglo V a.C.), la Geometría fue inventada por la civilización egipcia. Esto fue debido a que en Egipto se hizo muy necesario trazar los límites de las parcelas anejas al río Nilo. De hecho, de acuerdo a varios estudios históricos, a los geómetras egipcios se les llamaba "tentadores de cuerdas" ya que, antes del desarrollo de la cinta métrica, empleaban una cuerda con nudos. 

En concreto, los pensadores egipcios sabían que una cuerda con doce nudos regularmente separados servía para definir un ángulo recto de 3 unidades (dos nudos), 4 unidades (tres nudos) y 5 unidades (cuatro nudos). De hecho, este fue el sistema que emplearon para sus construcciones.

En geometría partimos de una propiedad que posee la línea unidimiensional: la longitud. No obstante, cuando hablamos de polígonos o formas bidimensionales (parte del plano limitado por los segmentos que forman una línea polígona cerrada) añadimos, junto a la longitud del perímetro exterior, otra medida relevante denominada área. 

El perímetro del polígono

El perímetro (P) de un polígono se obtiene de la suma de cada lado del mismo. Para ello, la medida de cada lado debe venir dada en la misma unidad. Normalmente representamos el perímetro de un polígono con la letra P. 

Cuando deseemos hallar el perímetro de un polígono regular, tenemos el lado l y el número de lados n (al ser regular, todos los lados miden igual). En tal caso podremos calcular el perímetro realizando la multiplicación entre la medida del lado l y el número de lados: P = n · l. Por supuesto, esto es lo mismo que sumar cada lado (n veces la suma de la longitud del lado l). Sin embargo, en caso de que el perímetro de un polígono sea irregular, deberemos sumar todos sus lados. 

El área del polígono

Definimos área (A) como la porción del plano contenida dentro de la figura geométrica. Dicho de otra forma, el área es la cantidad de superficie que ocupa el polígono. En efecto, el área es la medida de la superficie de dicha figura plana. Una de las características particulares de esta medida es que se mide en unidades cuadradas.

Al contrario del perímetro; que es la suma de cada lado, independientemente de su forma; cada polígono tiene su propia fórmula para calcular su área. Aquí solo veremos las figura básicas (cuadrado, romboide, trapecio, rectángulo, triángulo y rombo):

Breve cronología de la Geometría

• 2000 a.C. Se realiza el primer cálculo del área de un triángulo.

• 260 a.C. Arquímedes calcula áreas de círculos y volúmenes de esferas.

• 1020. Abul Wafa investiga sobre el volumen de un paraboloide.

• Siglo XVIII. Se desarrolla el cálculo integral, permitiendo una nueva manera de obtener el área y volúmenes de formas matemáticas caprichosas.

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair

El mundo de las fracciones

La palabra fracción procede del latín fracito, que significa quebrar.  No obstante, se cree que el verdadero origen de las fracciones se ubica en el Antiguo Egipto con el objetivo de controlar y distribuir de manera equitativa los impuestos. 

¿Qué es una fracción?

1/2, 3/4 o 4/8 son fracciones. Se trata de una manera de representar porciones de un número entero o un objeto. Las fracciones tienen dos elementos: numerador / denominador. 

Si tenemos z = x / y, significa que tenemos x partes de un posible y. Además, si y es múltiplo entero de x, entonces z es un número entero. Por ejemplo, si nos comemos un cuarto de una pizza (matemáticamente 1/4) significa que nos hemos comido 1 parte de 4 trozos de la pizza.

Operaciones básicas con fracciones

Con las fracciones podemos hacer las cuatro operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división. Sin embargo, para cada una de ellas, tendremos que seguir unas reglas establecidas.

• Suma de fracciones. Antes de hacer una suma, debemos fijarnos que las fracciones que tengamos que sumar, tengan el mismo denominador. Si es así, simplemente sumaremos el numerador, conservando el mismo denominador. En caso contrario, antes de realizar la suma, debemos obtener el mínimo común múltiplo (mcm) para, precisamente, que tengan el mismo denominador y, así, sumarlas.

• Resta de fracciones. Funciona exactamente igual que lo explicado en la suma (pero restando). Si las fracciones que vamos a restar tienen el mismo denominador, restaremos el numerador, conservando el mismo denominador. En caso contrario, antes de realizar la resta, debemos calcular el mínimo común múltiplo (mcm) para conseguir el mismo denominador y, así, poder restar las fracciones. 

• Multiplicación de fracciones. Aquí multiplicaremos el numerador con el numerador y el denominador con el denominador. Date cuenta que es exactamente lo contrario a lo que "dice" uno de los símbolos más populares de la multiplicación (x).

• División de fracciones. En este caso multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador y el primer denominador por el segundo numerador. Date cuenta que es exactamente lo contrario a lo que "sugiere" el símbolo de la división (:) y al procedimiento de la multiplicación. Por último, no olvides que en la división de fracciones no se divide, sino que se multiplica.

Fracciones, decimales y porcentajes

Lo más bonito de las fracciones es que son equivalentes a los decimales y, a su vez, a los porcentajes. Por ejemplo: 1/2 es la mitad de algo, su decimal es 0,50 y su porcentaje es el 50%. De esta forma, podemos obtener la siguiente tabla. 

Por ejemplo, una nota de un examen de música podemos expresarla como un 8 sobre 10 o como un 80 sobre 100, que es 80%. Este porcentaje en su forma decimal es 0,80 sobre 1 o lo que es lo mismo 4/5. Gracias a las matemáticas podemos expresar de distinta forma el mismo número.

Gracias a la simplificación de fracciones, podemos recurrir a esta tabla para ver las equivalencias entre decimales y porcentajes.

Fracciones en el día a día

• El tiempo que usamos se basa en las fracciones. Fíjate que cada minuto es una fracción de una hora. Además, usamos los términos y cuarto (1/4), media hora (2/4) y menos cuarto (3/4) para dar las horas. 

• Cuando hacemos una fotografía, podemos configuar la velocidad del obturador. Dicha velocidad se expresa en fracciones de segundo, precisamente porque la velocidad suele ser que un segundo.

• El oro (Au en la tabla periódica) se calcula en quilates. 24 quilates se considera oro puro. Entonces, por ejemplo, 18 quilates es 18/24 (3/4 simplificado), que será que tiene un 75% de oro.

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair

El arte y la ciencia del secreto

La criptografía es una de las artes milenarias (hoy considerada como ciencia) que aborda los problemas teóricos relacionados con la seguridad del intercambio de información en clave entre un emisor y un receptor. Desde los primeros tiempos, siempre ha sido una prioridad garantizar una comunicación secreta entre los generales de los ejércitos para ganar las batallas. A día de hoy, la criptografía sigue estando muy presente en muchos campos de vital importancia como la seguridad de las naciones o las transacciones financieras.

Fundamentos de la codificación

En esencia, la criptografía funciona como el esquema de los elementos de la comunicación que se aprende en el colegio. Básicamente tenemos un emisor, quien envía el mensaje, y un receptor, quien lo recibe. La novedad radica en el centro de este sistema: la codificación del mensaje. Para que se produzca la comunicación es esencial que tanto el emisor como el receptor conozcan el código para interpretar el mensaje.

En este proceso de codificación: (1) el emisor tiene el mensaje simple, (2) elige un método de codificación [que también deberá conocer el receptor];  bajo esas reglas, codifica el mensaje y (3) lo envía. 

Un proceso similar se usará para descodificar el mensaje: (1) el receptor recibe el mensaje, (2) emplea el método de des codificación [previamente pactado] y (3) averigua el mensaje original.

Métodos básicos del cifrado de mensajes

A lo largo de la historia se han usado una infinitud de métodos para codificar y cifrar mensajes. De hecho, se podría decir que para cada situación se puede crear un nuevo código o técnica de codificación ad hoc. No es objetivo de este apartado abordar todos ellos. Sin embargo, sí que haremos un breve repaso a las técnicas básicas que sustentan la mayoría de sistemas de cifrado y codificación.

• Cifrado de sustitución. Se trata del sistema más antiguo de cifrado en donde cada letra del abecedario se sustituye con cierta lógica o arbitrariamente por otra letra del abecedario. Un ejemplo de este sistema lo hemos visto en la imagen anterior.

• Para usar este cifrado es preciso crear una tabla con dos filas: la fila de codificación y la fila de descodificación. En función del objetivo del mensaje (codificar o descodificar) se usará primero la fila de codificación o descodificación.

• Cifrado polialfabético. Para evitar el análisis de frecuencias (de una persona ajena al sistema de comunicación previamente establecido), se usan varios alfabetos de manera rotativa. De esta forma, por ejemplo, la A podía tener, bajo una lógica compleja, distintas designaciones en el mensaje codificado. Este es el método del que se fundamentaba el funcionamiento la máquina de codificación nazi Enigma.

• El análisis de frecuencias, como su propio nombre indica, se trata de un análisis que se usa para romper un código por cifrado de sustitución y conocer el mensaje original, que consiste en estudiar la frecuencia con la que aparece cada letra en el texto cifrado.

• Cifrado de transposición. Consiste en colocar el mensaje original en una cuadrícula o tabla. A continuación, en otra cuadrícula se cambia el orden de las filas y las columnas. Por último, se informa del orden original de la cuadrícula. Por ejemplo:

Línea de tiempo del secreto

Según Parsons y Dixon (2022), estos son los eventos más transcendentales en la historia de la criptografía:

• 1500 a.C. En Mesopotamia se usan tablillas con contenido codificado.

• Siglo VII a.C. Los griegos introducen el cifrado por transposición.

• Siglo I a.C. Julio César usa el cifrado de sustitución en el campo de batalla y para transmitir mensajes importantes a Roma.

• 800. Surgen los análisis de frecuencia para descifrar códigos de sustitución.

• 1467. León Battista Alberti bosqueja el cifrado polialfabético.

• 1586. María I de Escocia usa el cifrado de sustitución en la conspiración para matar a Isabel I.

• 1914 - 1918. El Almirantazgo británico descubra varios códigos navales alemanes. Esto supuso un cambio de rumbo en plena Primera Guerra Mundial.

• 1939 - 1945. Enigma y el código Lorenz son descifrados por criptoanalistas. Esto supuso un cambio de rumbo en plena Segunda Guerra Mundial.

• 1949. Se publica un artículo revolucionario sobre matemáticas y criptoanálisis: Una teoría matemática de la criptografía.

• 1976. Sale a la luz la denominada criptografía de clave pública.

• 1984. Se comienza a fundamentar la criptografía cuántica.

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair

La magia de los cuadrados mágicos

Este es un cuadrado mágico:

Los cuadrados mágicos son una de las primeras evidencias del uso de las matemáticas como recreación allá por el año 4.800 en Oriente. En efecto, los primeros cuadrados mágicos surgieron en China y son los precursores del Sudoku y el Cubo de Rubik. 

• Los cuadrados mágicos, al denominarse cuadrados, deben tener el mismo número de lados. Se dice que un cuadrado mágico con x números de lados es un cuadrado de orden x. En el ejemplo anterior, el cuadrado es de orden 3. Durante muchas décadas, el orden 3 era el cuadrado más grande.

• No fue hasta el año 1770 cuando Leonard Euler planteó un cuadrado de cuarto orden (cuatro lados). Seguramente, Euler fue una de las primeras personas en hacer un cuadrado mágico elevando al cuadrado todos sus componentes. De hecho, resulta curioso que en el siguiente cuadrado mágico, cada componente se eleve al cuadrado para obtener una constante mágica única.

• El cuadrado mágico más grande hasta el día de hoy se descubrió en 2012 gracias a la matemática computacional. Es de orden 3559 e impreso mide 20 metros cuadrados.

• También existen cuadrados bi-mágicos, que deben dar la constante mágica después de que sus números se eleven al cuadrado. En efecto, un ejemplo de cuadrado bi-mágico puede ser el que acabamos de ver de Euler.

•  De la misma forma hay cuadrados tri-mágicos: todos sus componentes están elevados al cubo.

• Actualmente, también es posible enfrentarse a cubos mágicos, que son bloques tridimensionales de números que al realizar las sumas, debe dar el mismo número en todos los planos: filas, columnas, diagonales y pilares.

En la actualidad existen muchas competiciones con cuadrados mágicos. Los concursantes deben adivinar uno o varias casillas para obtener una constante mágica secreta en un periodo de tiempo determinado. No obstante, el hecho de enfrentarse a un cuadrado en blanco completamente vacío puede sr incluso más desafiante que resolver uno ya preparado.

Por cierto, la respuesta a la primera pregunta (¿qué número falta?) es 5 y su constante mágica es 15.

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair

El origen de la aritmética

La aritmética es una de las ramas de las matemáticas más antiguas e importantes para entender mucho mejor el mundo que nos rodea. Este término deriva del latón arithmetïcus, que a su vez procede del griego a ἀριθμός (número). Como su propio nombre indica, la aritmética se centra en el estudio de los números y sus cuatro operaciones elementales (suma, resta, multiplicación y división). Se estima que fue desarrollada por los babilonios para facilitar el comercio, la construcción y los registros de datos. 

Contables ancestrales

Gracias a los estudios históricos, sabemos que los sumerios de Mesopotamia conocían y demostraban gran soltura en las operaciones básicas. De hecho, ya por el año 4.000 a.C. usaban cuentas de arcilla y piedras talladas para realizar con más facilidad las operaciones. A toda la matemática que se desarrolló en los pueblos de Mesopotamia desde el nacimiento de la civilización sumergía hasta la caída de Babilonia (539 a.C.) se le denomina matemática babilónica o matemática asirio-babilónica. Uno de los recuerdos más importantes de esta época lo encontramos en una tablilla de barro denominada Plimpton 322 (1.800 a.C. aprox.).

Los griegos y las matemáticas

Como ya hemos visto anteriormente, los griegos usaban arithmós para referirse a los números. En el año 600 a.C. la escuela pitagórica determinó que la aritmética (manejo y cálculo de números) era uno de los ejes centrales de las matemáticas. De hecho, los pensadores griegos fueron los primeros en desarrollar campos de estudio tan importantes hoy en día como la geometría, la ingeniería y el diseño, partiendo de la aritmética.

Este planteamiento quedó tan arraigado en el desarrollo humano que incluso en la Edad Media, considerada una etapa "oscura" del desarrollo científico, se enseñaba aritmética en las primeras universidades europeas formando el concepto de las siete artes liberales (Trivium et Quadrivium): aritmética, lógica, geometría, astronomía, gramática, retórica y música. En aquella época el concepto de artes hacía referencia a las distintas disciplinas académicas, también llamadas oficios.

Aparatos y máquinas para el cálculo

La humanidad siempre ha tratado de adaptarse al entorno que le rodea y de sacar el máximo provecho posible de todo el conocimiento que ha ido adquiriendo generación a generación. Si bien el ábaco fue uno de los primeros instrumentos que ayudó al hombre a aprender a calcular, no fue hasta el siglo XVII cuando comenzaron a surgir los primeros prototipos de calculadoras mecánicas:

- 1642 – Blaise Pascal construye la primera calculadora del mundo. Consiste en una caja de madera con un mecanismo de engranajes. Se le conoce como calculadora Pascalina.

- 1822 – Thomas de Colmar crea una máquina portátil para contar. Se le llamó aritmómetro.

- 1908 – Se mejora el aritmómetro, surgiendo así la máquina MADAS. Este aparato del siglo XX era capaz de realizar divisiones automáticamente.

- 1948 – Curt Herzstark crea la última máquina mecánica manual (antes del desarrollo de las calculadoras electrónicas actuales) llamada la Curta, en honor a su nombre [véase fotografía lateral].

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair

La aventura de contar

Contar fue una de las primeras actividades matemáticas que la humanidad comenzó a hacer incluso mucho antes de la invención de los números. El hombre primitivo usaba sus propios dedos para esa actividad. Posteriormente, se ayudaba de objetos cotidianos como huesos y palos para contar y entender mejor el mundo. Con el paso del tiempo, los sistemas numéricos se fueron optimizando hasta llegar a nuestros días.

Huesos como herramientas de conteo

En la década de 1970 un grupo de paleontólogos, liderados por Peter Beaumont, descubrieron un hueso muy especial de la parte inferior de la pierna de un babuino en la cordillera de Lebombo (África). Es este lugar el que le da el nombre: el Hueso de Lebombo [véase fotografía superior]. Las pruebas del radiocarbono determinaron la edad de dicho hueso en 35.000 años. Lo que hace tan especial este hueso es lo que contiene: veintinueve muescas talladas para contar algo. Sin lugar a dudas, estamos ante uno de los primeros materiales que el hombre usó para hacer matemáticas. 

A parte de este "hueso matemático", que es el más antiguo que hemos descubierto hasta la fecha, también se destaca el Hueso de Isangho. El hueso fue descubierto muy cerca del nacimiento del río Nilo en Ishango en el año 1960 por el geólogo Jean de Heinzelin de Braucourt. En esta ocasión el hueso procede del peroné de un babuino de unos aproximadamente 20.000 años. En él podemos ver distintas series de muescas de lo que parece ser un sistema de numeración.

Primeras cuentas en Mesopotamia

En el año 4.000 a.C. los sumerios (en Mesopotamia) usaban una especie de cuentas o fichas de arcilla con unos símbolos para contar. En la antigua ciudad de Uruk se descubrió la presencia de múltiples fichas (tokens), burbujas (bulla) y tablillas que parecían sugerir la necesidad de tener un registro de lo que fue una época marcada por el auge del comercio. En concreto, las fichas (tokens) eran objetos de pequeño tamaños y diversas formas que se usaban para representar, contar y registrar objetos [véase fotografía superior].

Muchos años más tarde, en el 2.700 a.C., los sumerios comenzaron a usar un modelo primitivo de ábaco basado en el sistema sexagesimal (sistema que tiene como base el número 60).

Las matemáticas en Egipto

En la tierra de los faraones, sobre el año 3.000 a.C. se introduce el codo como medida para construir. Un codo se definía como la longitud del brazo desde el codo hasta las puntas de los dedos. Esto equivalía aproximadamente a unos 0,524 metros de longitud. De esta unidad de medida lineal surgió el sechat, que era la unidad de superficie y correspondía con un cuadrado de 100 codos de lado o 10.000 codos cuadrados. 

Sobre ese mismo año, los egipcios usan uno de los primeras sistemas numéricos en base 10. Para ello, los números se representaban como jeroglíficos. Así, por ejemplo, el número 100 se representaba como un rollo de cuerda [véase imagen superior].

La importancia del cero

El 0 es un número que es básico en nuestro sistema numérico actual. Su función es, precisamente, representar una ausencia de algo. Si bien el concepto de cantidad nula nos ha acompañado durante toda nuestra existencia, no fue hasta el año 620 cuando el cero es propuesto por el erudito indio Brahmagupta.

Brahmagupta escribió en 628 uno de los libros más importantes de la historia de las matemáticas: el Brahmasphutasiddhanta, traducido como Doctrina de Brahma Correctamente Establecida [véase imagen superior]. La obra contenía importantes instrucciones para manipular números positivos y negativos, calcular ecuaciones lineales u obtener raíces cuadradas, entre otros conceptos importantes. Por supuesto, es en este libro donde se explica el concepto de cantidad nula representada por el cero, estableciendo alguna de las reglas aritméticas que a día de hoy siguen estando vigentes; como por ejemplo, el cero dividido entre cero es cero. De hecho, este manuscrito se extendió rápidamente por el mundo árabe, llagando a Occidente de la mano de Leonardo Fibonacci. A todo esto cabe destacar que el libro está escrito íntegramente en verso.

Los números actuales

Para conocer de dónde vienen los números actuales debemos echar la vista atrás 500 años. Un grupo de matemáticos indios crean unos símbolos para designar los números del 1 al 9. Se suele conjeturar que los símbolos representaban la cantidad según el número de ángulos del propio símbolo. Sin lugar a dudas, este fue el precursor de nuestro actual sistema decimal.

Durante el siglo XII el sistema numérico indioarábico comienza a popularizarse por Europa gracias al esfuerzo de Leonardo Fibonacci. Finalmente, durante los siglos XV al XVI los números modernos comienzan a usarse ampliamente gracias a la invención de la imprenta [véase imagen superior]. 

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair