Distribución bidimensional. Regresión lineal

1.- Definición
Son el resultado de observar un fenómeno cualquiera y extraer del mismo un par de medidas X e Y, que llamaremos variables.

Por ejemplo, cogemos a una clase de 10 niños de sexto de Primaria. De cada niño obtenemos el peso (llámese por ejemplo variable X) y la talla (llámese por ejemplo variable Y).

Los valores de una variable bidimensional son pares de números reales.


2.- Representación gráfica
Estas dos variables se representan en un eje cartesiano llamado Diagrama de dispersión o Nube de puntos, en donde la variable X se pone en el eje horizontal y la variable Y se pone en el eje vertical.

A cada sujeto le corresponde dos variables, supongamos que Jaimito mide 170 cm y pesa 70 kg. En el diagrama de dispersión buscamos en el eje X 170 y en en eje Y el 70, en su intersección hacemos un punto.


3.- Parámetros estadísticos
Existen cuatro parámetros básicos para estas variables:
- Media de la variable X y de la variable Y
- Varianza de la variable X y de la variable Y
- Desviación típica de la variable X y de la variable Y (raíz cuadrada de la varianza)
- Covarianza. Lo que varía la variable X y la variable Y


4.- Correlación
Es el estudio de la relación o dependencia entre las dos variables X e Y. ¿X depende de Y? ¿Cuando X aumenta, Y también lo hace?.

Para ello, el coeficiente de correlación de Pearson (r) nos indica el grado de dependencia que hay entre las variables. 
- Si r es negativo, indicará que el aumento de una variable supondrá la reducción de la otra. 
- Si r es positivo, indica que el aumento de una variable supone el aumento de la otra
- Si r es 0, no hay relación entre las variables

Con la recta de regresión podremos predecir el comportamiento de una variable (desconocida), conociendo la otra variable.

La fórmula de la función de regresión lineal es y = a + bx

Jacob Sierra Díaz

Los números romanos

No es difícil pasear en la calle y encontrarse en las fachadas de edificios o de estatuas el sistema numérico romano. Veamos en qué consiste:

También es preciso conocer que solo las letras I, X, C y M se pueden repetir dos o tres veces. Por ejemplo:  MMM >> 1000 + 1000 + 1000 = 3000 o III > 1 + 1 + 1 = 3

Una vez comprendida la teoría, vamos a practicar con este sistema.

1.- ¿Qué valor tiene cada número?

• V
• CD
• IX
• MCCC
• MDCI
• DC
• VII
• XV
• CM

2.- Escribe el año actual en números romanos:

3.- ¿Qué año dice esta fachada?

4.- ¿En qué año se construyó la Puerta de Alcalá?

• MDCCLXXVIII

 Jacob Sierra Díaz

Los números naturales

La prueba de la división será: Dividendo = divisor x cociente + resto

• Esto se puede explicar con una sencilla razón matemática que veremos más adelante. (La operación opuesta a la división es el producto).

Un problema que encontramos con las operaciones de resta y división de los números naturales es que no siempre se pueden operar con dos números cualesquiera.

• Con números naturales es imposible restar un minuendo menor que el sustraendo.
• 8 - 13
• Donde si que es posible esta operación es con números enteros.

• La resta también recibe el nombre de diferencia o sustracción

• La multiplicación también recibe el nombre de producto

• No siempre el cociente entre dos números naturales dará otro número natural.
• 13 : 5 no dará un número natural.
• Lo que sí que se puede hacer es descomponer la división
• 13 = 5 x 2 + 3 [Hemos aplicado lo que se llama como prueba de la división]

Las propiedades de los múltiplos y divisores son las siguientes:

• Reflexiva: Todo número natural es múltiplo y divisor desi mismo.
• 5 es divisor de 5 ya que 5 : 5 = 1
• 3 es múltiplo de 3 ya que 3 x 3 = 1

• Antisimétrica: Si un número es múltiplo o divisor de otro y éste es el múltiplo o divisor del primero, entonces, ambos números son iguales.
• 3 = 3
• 5 = 5

• Transitiva: Si un número es divisor o múltiplo de otro y éste es múltiplo o divisor de un tercero, entonces, el primero será también múltiplo o divisor del tercero.
• 28 es múltiplo de 14, 14 es múltiplo de 2. Entonces 28 es múltiplo de 2
• 2 es divisor de 14, 14 es divisor de 28. Entonces 2 es divisor de 28

¿Cómo sabemos si un número es múltiplo o divisor de otro? ¿Cuáles son los criterios de divisibilidad?

• Divisible por 2: Un número natural es divisible por 2 si su última cifra es un número par.
• 548 es divisible por dos ya que 8 es par

• Divisible por 3. Es divisible si la suma de sus cifras es divisible por 3
• 18231 es divisible ya que si sumamos todas sus cifras nos da un número divisible por 3

• Divisible por 5. Es divisible por 5 si la última cifra es 0 o 5

• Divisible por 6. Es divisible por 6 si ese número es divisible por 2 y 3

• Divisible por 9: Es divisible por 9 si sus cifras suman 9

• Divisible por 10: Es divisibles por 10 si su última cifra es 0


Jacob Sierra Díaz

Jerarquía de las operaciones

Cuando estamos haciendo operaciones combinadas, es necesario guardar un orden. Si no el resultado nos dará distinto de una forma y de otra. Mira el siguiente ejemplo:

• 5 + 7 x 8 =>  12 x 8    => 96 (*)

• 5 + 7 x 8 =>   5 + 56   => 61

• Como acabamos de ver, la misma operación (hecha en distinto orden) da resultados completamente distintos.

Es por ello que se deben seguir unas normas de orden a la hora de realizar estas operaciones. Es lo que se conoce como jerarquía de las operaciones o pirámide de cálculo.

• Empezaremos por la base y acabaremos en la punta

• Si hay paréntesis dentro de corchetes, empezaremos por mencionados paréntesis.
• [6 x (4 : 2) + 3]  =>  [6 x (4 : 2) + 3]  =>  [6 x 2 + 3]  =>   [12 + 3]  => 15

• Es indiferente el lugar que ocupe un signo, deberemos empezar por el signo que tenga "preferencia"

• Como queda reflejado en el esquema; las operaciones del mismo orden se realizarán de izquierda a derecha. Veamos un ejemplo
• 4 x 3 : 5 => Empiezo por 4 x 3 y luego ese resultado lo divido entre 5

Veamos un ejemplo de todo lo visto:

• 6 - 2 x 4 : 5 =>  6 - 2 x 4 : 5   =>   6 - 8 : 5   => 6 - 1,6 => 4,4

• (3 + 3) : 6 x 1 => Es indiferente lo que haya en el paréntesis. Debo empezar por ahí => (3 + 3) : 6 x 1  =>  6 : 6 x 1  => 1 x 1  =>  1

Es hora de poner en práctica lo aprendido. Calcula:

• (8 + 7 - 3 + 6) x 5        [Sol. 90]

• 3 x 6 + 5 x 9 x 4          [Sol. 198]

• 4 x √49                           [Sol. 28]

• [58 x (7-3) + 5-4]         [Sol. 233]

Jacob Sierra Díaz