Galileo a examen: inexactitudes históricas del genio

Hace varias décadas en los libros de texto de la asignatura de Ciencias Naturales de Educación Secundaria Obligatoria en España (y seguramente en el resto de países) se pueden apreciar ciertas inexactitudes en temas relacionados con las Ciencias y la Historia de la Astronomía. Estas inexactitudes pueden ocasionar una distorsión de la realidad científica, que si no es tan grave como puede parecer, no responde a la verdad histórico-científica de la humanidad.

En el año 2009, Pérez-Rodríguez, Álvarez-Lires y Serradle-Marzoa publicaron un artículo sobre el análisis de las inexactitudes histórico-científicas detectadas en varios libros de textos usados en Primero de Educación Secundaria Obligatoria (1º ESO; España) para la asignatura de Ciencias Naturales del año 2002. El artículo es de acceso abierto y en el Anexo I se recoge el listado completo de los nueve libros que analizaron.

Uno de los temas más conflictivos que los autores identificaron en su investigación fue la atribución de ciertos descubrimientos o invenciones a Galileo (1564 - 1642). Es precisamente aquí donde nos encontramos con uno de los astromitos más populares:

• Galileo no fue quien inventó el telescopio. Sin bien es cierto que Galileo dedicó bastante tiempo a mejorarlo, su invención data del año 1608 (un año antes de que Galileo supiese de su existencia). En 25 de agosto de 1609 Galileo presentó un telescopio morado de 1,27 metros de largo con una lente convexa en la parte delantera y una lente cóncava en el ocular. Entonces, sí que es cierto que a día de hoy tenemos telescopios mucho más potentes gracias a las innovaciones de Galileo.

En base a este primer astromito surgen otras ideas falsas como que Galileo fue la primera persona que empleó este aparato óptico para fines astronómicos (North, 2001).

• En 1608 se indicaba que el telescopio podía revelar estrellas que eran invisibles al ojo desnudo. Además, se tiene constancia que Thomas Harriot (1560-1621) ya realizaba estudios rigurosos sobre el cielo años antes que el genio italiano. Recordemos que Galileo observó por primera vez estos satélites el 7 de enero de 1610 y en un principio él pensaba que se trataban de estrellas. Sin embargo, realizando observaciones diarias, se dio cuenta que estas "estrellas" se movían pero no se alejaban de Júpiter. Galileo los llamó "Planetas Medicianos" (I, II, III y IV) en honor a la Familia Medici.

Por otro lugar, en varios libros de texto se señala que Galileo fue la primera persona en observar los satélites más grandes de Júpiter. De ahí que se les conozca como satélites galileanos. Sin embargo, según se releva en la investigación de Pérez-Rodríguez et al. (2009), no está del todo claro si ya Simon Marius (1573 - 1624) los observó antes que Galileo.

• Las verdad en este punto no está clara, ya que se tiene constancia que Simon Marius publicó sus observaciones después de las de Galileo. Por ese motivo, más allá de este pequeño apunte histórico, la mayoría de los historiadores e investigadores dan como válida la primera observación de los satélites (con un telescopio mejorado) a Galileo.

• Pero también es cierto que a Simon Marius le debemos el nombre actual de los satélites galieleanos por un poema de 1614: 

"Júpiter es mucho más culpado por los poetas debido a sus irregulares amores. Tres doncellas son mencionadas especialmente por haber sido cortejadas clandestinamente por Júpiter de forma exitosa: Ío, hija del Río, Calisto de Lycaon, Europa de Agenor. Luego fue Gamínedes, el guapo hijo del Rey Tras, a quien Júpiter, habiendo tomado la forma de un águila, transportó en su lomo hasta los cielos, tal y como los poetas narran de una forma fabulosa".

Aquí podemos observar un poco de "justicia poética". Si bien, podemos reconocer el mérito de observación de los satélites a Galileo, fue Marius quien les dio los nombres actuales. Así... ¡todos contentos! 

Fuentes bibliográficas

• North, J. (2001). Historia Fontana de la Astronomía y la Cosmología. Fondo de Cultura Económica.

• Pérez-Rodríguez, U., Álvarez-Lires, M., & Serradle-Marzoa, J. F. (2009). Los errores de los libros de texto de Primer Curso de ESO sobre la evaluación histórica del conocimiento del universo. Investigación Didáctica, 27(1), 109-120.

Jacob Sierra Díaz y Altair

Sección de Ciencias del Universo

Área (superficie) de una esfera

El concepto de esfera es imprescindible para el estudio riguroso de la Astronomía. Una de las fórmulas más importantes a este respecto es el área de superficie de la esfera.

El área de superficie de una esfera cualquiera con radio r es:

Hace mucho tiempo, Arquímedes descubrió que el área de superficie de una esfera era igual al área lateral de superficie de un cilindro con el mismo radio de la esfera y una altura de longitud igual al diámetro de la esfera.

• El área lateral de superficie de un cilindro cualquiera es 2 · π · r · h (expresado a veces como 2 π r h), donde h, altura es siempre igual a 2 · r (ó 2 r)

• Entonces, 2 · π · r · h = 2 · π · r · (2 · r) = 4 · π · r2 (ó directamente 4 π r2) 

Jacob Sierra Díaz y Altair

Sección de Ciencias del Universo

¿Qué hace la gravedad?

Se podría decir que gracias a la gravedad estamos vivos. La fuerza de la gravedad mantiene juntos astros como las estrellas o mantiene los cuerpos en órbita, evitando que estos choquen. De no ser por la gravedad, la materia no se hubiese podido "juntar" y nunca hubiese habido galaxias, estrellas o planetas... en definitiva ¡nuestro mundo!.

Jacob Sierra Díaz y Altair

Sección de Ciencias del Universo

Infografía - El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras ofrece una importante y bella relación entre los lados de cualquier triángulo rectángulo. Sin lugar a dudas, se trata de un teorema de gran relevancia ya que permite resolver muchas situaciones de la vida diaria. 

Jacob Sierra Díaz y Altair

SOLUCIONARIO. Prueba práctica (alfa)

Si estás aquí es porque has realizado la prueba práctica (alfa) de la calculadora y quieres conocer las soluciones y los procedimientos para alcanzar la respuesta. Si no es así, haz clic en el siguiente botón para acceder a la prueba. 

La prueba está dividida en varias series y veremos cada solución por serie

(1) La primera serie es aritmética básica. Simplemente hay que recordar que la mayoría de calculadoras básicas no son jerárquicas y que habrá que ordenar las operaciones según la pirámide de prioridad de las operaciones, como se ve en la tercera actividad.

(2) La segunda serie son series numéricas. Para saber cuánto se suma en cada una, restaremos el segundo número de la serie al primero. A continuación, sabiendo el número, sumaremos dicho número entre sí tantas veces queramos.

(3) La tercera serie está dedicada a las potencias y raíces cuadradas. Se debe tener en cuenta que las raíces cuadradas se suelen poner una vez se haya introducido el número en cuestión.

(4) En la cuarta serie se han planteado porcentajes. Con la tecla % no deberá suponer gran problema el cálculo de porcentajes. Sin embargo, ten en cuenta la lógica que usa tu calculadora (lógica aritmética o lógica CASIO) de cara a las dos actividades finales, ya que el símbolo de la resta se deberá poner, para la lógica CASIO, después de pulsar la tela %. Para esta respuesta se ha usado una calculadora básica con lógica aritmética.

Para más información sobre los porcentajes de descuentos en las calculadoras básicas, haz clic en el siguiente enlace:

Descentos (%) en la calculadora [Clic para acceder]

(5) En la serie final deberemos resolver los ejercicios con las teclas de memoria.

Y este es el final de la prueba. Una prueba que pondrá a prueba tu capacidad para usar una calculadora básica de oficina y que te ha permitido poner en práctica funciones que seguramente nunca habías conocido que existían.

Jacob Sierra Díaz y Altair

Prueba práctica (alfa) con la calculadora básica

A continuación, tienes cinco series de actividades de distinta naturaleza para poner a prueba tu capacidad para usar una calculadora básica. Para realizar esta prueba dispones de un cuarto de hora, tiempo suficiente para resolver con éxito todas las partes.   Antes de empezar, lee las siguientes instrucciones:

• Para esta prueba necesitarás una calculadora básica de oficina. No importa el modelo. Debe tener una pantalla con una sola línea. No uses una calculadora científica. Puedes usar la calculadora de tu teléfono móvil (siempre y cuando no esté en modo calculadora científica).

• Es aconsejable que tengas un papel y un bolígrafo para ir apuntando los resultados y verificar posteriormente la respuesta. También puedes hacer clic en el siguiente enlace para acceder a un pdf con la prueba. Para una mayor comodidad, la puedes imprimir y hacer la prueba ahí.

Acceso a descarga de la plantilla de la prueba (BOX - PDF)

• La puntuación máxima de cada una de las series de pruebas es de dos puntos. Al acabar tu prueba podrás acceder al final de esta entrada al solucionario de la misma donde aparecerá la puntuación de cada pregunta.

Buena suerte. Da comienzo la prueba; el tiempo acaba de comenzar.

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(1) En esta primera serie deberás dar la respuesta correcta a las siguientes operaciones aritméticas. No olvides que las mayorías de calculadoras básicas no son jerárquicas y no respetan el orden correcto de las operaciones.

(2) En esta segunda serie deberás completar la serie numérica con los siguientes diez números.

(3) Esta serie está dedicada a las potencias y raíces cuadradas. Ten en cuenta que la forma en la que pedimos a la calculadora que nos calcule estas operaciones es distinta a la manera en la que las vemos en la pantalla o en el papel.

(4) En esta serie deberás resolver los siguientes tres problemas de porcentajes.

(5) En la serie final deberás hacer uso de las teclas de memoria de la calculadora (M+ o M- y MRC) para encontrar la solución de estas operaciones complejas. Ten en cuenta que aquí no podrás apuntarte en el papel o tratar de memorizar la solución parcial de la operación.

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Una vez que hayas finalizado la prueba y tengas tus respuestas en una hoja de papel (o en la plantilla que has descargado e impreso) haz clic en el siguiente botón para acceder a la solución de la prueba y al procedimiento de la misma.

Jacob Sierra Díaz y Altair

La memoria (M) de la calculadora

Todas las calculadoras incluyen una función de memoria (M) que es bastante práctica para, principalmente, recordar algún número que será usado en cálculos posteriores. Hoy vamos a ver en qué consiste esta función principal y los distintos botones que tiene la calculadora para utilizar la memoria de una manera sencilla.

Concepto de memoria 

Antes de comenzar a explicar la función de las teclas de memoria M+, M- y MRC; vamos a entender la lógica básica que hay detrás de este proceso de memorización.

La memoria es una celda de almacenamiento libre que la calculadora tiene para guardar cualquier valor que se le solicite. Esta función es bastante útil cuando se deseen hacer distintas operaciones aritméticas con el mismo número (por ejemplo, una tasa impositiva o un número grande).

• Tal y como se muestra en la siguiente ilustración, para guardar cualquier número pulsaremos sobre la tecla de memoria, que suele venir expresada como M, una vez introducido el número. A continuación, la calculadora mostrará en su pantalla un aviso (normalmente la letra M o MEMORY) para indicar que dicho número ha sido guardado. Entonces, cuando queramos hacer cualquier operación con el número guardado, bastará con pulsar la tecla MC (Memory Recall; Recordar Memoria) para que nos muestre el número que estaba guardando y así poder hacer la operación.

• Imaginemos la siguiente situación absurda. Se desea calcular independientemente las siguientes sumas y restas: 72 + 5, 44 - 16 y 72 - 66. En este caso, como no queremos volver a pulsar el número 72 dos veces, usaremos la función de memoria. (I) Escribimos el número 72; (II) pulsamos sobre la tecla de memoria M (o M+, en la mayoría de modelos), en este momento la calculadora ha guardado este número y nos mostrará un aviso en la pantalla (normalmente una M en la parte superior); (III) calculamos la primera operación, para ello pulsaremos las teclas +, 5 e =; (IV) a continuación, hacemos la operación 44 - 16; (V) ahora, con la última operación debemos invocar al 72 que hemos guardado en la calculadora, para ello pulsaremos la tecla MR (Memory Recall; en muchos modelos de calculadora es la tecla MRC) y veremos que en la pantalla nos muestra el valor guardado; (VI) ahora pulsaremos las teclas -, 6, 6 e =. Con este procedimiento hemos usado la tecla de memoria para evitarnos volver a escribir un número, en este caso pequeño.

Teclas M+, M- y MRC

Una vez comprendido el concepto de memoria, vamos a ver las teclas más habituales para trabajar con las memorias en la calculadora. Pero antes de continuar conviene conocer un pequeño secreto. Las memorias de las calculadoras nunca están vacías. Es decir, no hay un valor nulo o vacío en ellas. Realmente, cuando la calculadora no está guardando ningún número en la memoria, tiene el número 0. Entonces, cuando reseteamos la calculadora, esta colocará un 0 en la memoria para "vaciarla". Por ese motivo, cuando guardamos algún valor en la memoria, la máquina suma el valor guardado al que había antes y si había un 0, guardará el valor que hayamos introducido. Otro concepto importante a la hora de hablar de memorias en las calculadoras básicas de oficina será que esta solo tienen una memoria. Es decir, no es posible guardar varios números distintos a la vez. De hecho, lo único que se puede hacer para guardar varios números sería sumarlos o restarlos al valor de la memoria que ya tenía anteriormente.

Vamos a comenzar hablando de los botones M+ y M-. La mayoría de calculadoras tienen estos dos botones que funcionan como entrada de valores a la memoria. Pero, ¿cuál es la diferencia? Principalmente, el botón M+ añade (suma) el valor que hayamos indicado a la memoria y el botón M- resta el valor que hayamos indicado a la memoria. Entonces, cuando queremos guardar, supongamos un 5 a la memoria vacía, pulsaremos sobre la tecla M+ y esta hará una suma de 0 + 5 para guardar el 5 a la misma. Si ahora quisiésemos guardar, siguiendo con este ejemplo, la diferencia de 5 - 3 tendríamos que pulsar sobre la tecla 3 y sobre la tecla M-. Esto hace que la calculadora guarde el número 2, ya que es la resta 5 - 3.

Otro botón muy cercano a las teclas M+ y M- es MRC (Memory Recall / Memory Clear; Recordar Memoria / Limpiar Memoria). En algunos modelos este botón se convierte en dos teclas independientes: la MR (Memory Recall) y la MC (Memory Clear). ¿Para qué se usan? Como ya hemos visto, la tecla MR sirve para mostrar el valor guardado en la memoria y la tecla MC sirve para vaciar o borrar la memoria (esta tecla en realidad pone un 0 en la memoria). En las calculadoras en la que las teclas MR y MC son una (tecla MRC) la primera pulsación (corresponde con MR) lanza el valor guardado en la memoria y la segunda pulsación (corresponde con MC) borra la memoria.

Jacob Sierra Díaz y Altair

Rebosamiento en la calculadora

No es ningún secreto que cualquier tipo de calculadora tenga unos límites de cálculos. Estos límites vienen definidos principalmente por su capacidad aritmética y por los dígitos que muestre en pantalla. Por ejemplo, para una calculadora de 8 dígitos en pantalla (como la que se muestra en la siguiente imagen) no podremos realizar cálculos mayores al rango ±99999999.

Cuando solicitamos a la calculadora un cálculo mayor al que esta pueda realizar, estamos ante un problema de desbordamiento o rebosamiento. Básicamente le estamos pidiendo hacer algo que no puede calcular. 

Si, al realizar una operación básica (como puede ser 999999999+1) nos aparece el símbolo del error (ERROR o E), se debe a que el total acumulado excede la capacidad de la máquina. Para salir de este error, se deberá pulsar la tecla CE, C o AC.

Obviamente, las calculadoras científicas ofrecen un mayor rango de cálculos mucho más avanzados que las calculadoras básicas, aunque estas también posean unos límites (seguramente establecidos en ±99999999⁹⁹).

Jacob Sierra Díaz y Altair 

Descuentos (%) en la calculadora

Todas las calculadoras básicas incluye un botón de porcentaje (%). Este botón es útil para cuando tengamos que realizar operaciones con porcentajes, normalmente orientados con aspectos económicos tales como los descuentos. Precisamente hoy vamos a descubrir cómo calcular porcentajes de descuentos con nuestra calculadora a través de la tecla del tanto por ciento o porcentaje (%). Sin embargo, antes de comenzar conviene recalcar que el porcentaje en las calculadoras básicas de oficina debe venir acompañada de alguna operación básica (suma, resta, multiplicación o división) ya que, a diferencia del cálculo real, si ponemos un número y pulsamos la tecla % no hará nada la calculadora (o nos ofrecerá un 0, dependiendo el modelo). A esto hay que sumarle que dependerá del modelo de calculadora, empleará una lógica u otra para el cálculo completo del descuento sobre el precio original.

La mejor forma para conocer la utilidad de esta tecla de tanto por ciento o porcentaje (%) en la calculadora es mediante un ejemplo práctico. Imagina que vas a la sección de tecnologías de unas grandes superficies para comprar un televisor. Ves dos modelos de televisión que te gustan y que valen 312€ y 400€, respectivamente. El televisor más barato tiene un 20% de descuento sobre el precio original y el televisor más caro tiene un 30% de descuento (sobre el precio original). ¿Cuánto hay que pagar por cada televisor con el descuento aplicado?

• Para resolver este sencillo problema tenemos que hacer, en primer lugar, el 20% de 312€. Esto se puede obtener automáticamente en la calculadora tecleando 312 x 20%. El resultado que se mostrará en pantalla será de 62,4€. Esto quiere decir que el 20% de 312€ es 62,4€; lo que significa que nos quitarán 62,4€ al precio original. Entonces, lo que pagamos por el primer plasma es (312€ - 62,4€) 249,60€. Este es el método universal que podemos usar independientemente de cualquier modelo.

• Para el primer televisor hemos visto una forma de hacer el tanto por ciento de una cantidad y luego hemos restado esa cantidad al precio total. Esto lo podemos hacer directamente en la calculadora de una manera muy sencilla sin necesidad de hacer dos operaciones. Para saber cuánto tenemos que pagar por el segundo televisor que cuesta originalmente 400€ y que tiene un descuento del 30% podemos teclear en nuestra calculadora 400 - 30%, dando como resultado el precio final de 280€. Este procedimiento es lo que conocemos como lógica aritmética y normalmente está estandarizado para todas las calculadoras básicas de marca blanca.

• SOLUCIÓN. Por el primer televisor (20% de descuento al precio original de 312€) hay que pagar 249,60€ y por el segundo televisor (30% de descuento al precio original de 400€) hay que pagar 280€. Suponiendo que las características del segundo televisor son mejores que las del primero (por la diferencia de precios originales), habría que considerar esta compra.

En efecto, con la calculadora tenemos varios procedimientos (igual de válidos) para llegar a la solución del problema. Sin embargo, si queremos obtener en un solo procedimiento el precio final deberemos tener en cuenta la lógica en la que trabaja nuestra calculadora. La mayoría de calculadoras básicas (a excepción de los modelos CASIO) permiten calcular el precio final de una manera elemental bajo la denominada lógica aritmética. Tal y como vemos en la siguiente ilustración, con la lógica aritmética  obtendremos el descuento tecleando el precio original del producto, la tecla menos (al tratarse de un descuento) y el porcentaje de descuento (número y %). Aquí no es necesario pulsar la tecla igual (=), ya que automáticamente al presionar la tecla % nos lanza el resultado.

Sin embargo, no todas las calculadoras obtienen el resultado de esta forma. En concreto, los modelos CASIO de calculadoras básicas lo obtienen mediante un procedimiento distinto que podríamos denominar lógica CASIO. A diferencia de la lógica aritmética, necesitaremos introducir el precio original, seguido del porcentaje (número y %), seguido del la tecla -, tal y como se muestra en la siguiente ilustración. Por lo tanto, si tu modelo de calculadora básica es marca CASIO o usas un modelo que ha copiado esta lógica, para obtener el descuento de una manera sencilla, deberás hacer este procedimiento.

Finalmente, conviene destacar el procedimiento que deberemos seguir en calculadoras científicas. Independientemente del modelo, este tipo de calculadoras tienen establecida la jerarquía de las operaciones por lo que el procedimiento será diferente a los que acabamos de ver. En concreto, deberemos escribir el procedimiento completo de manera matemática para que nos calcule correctamente el tanto por ciento de un precio y lo reste a dicho precio original a través de la fórmula Precio original - (Precio original x Descuento%) =, tal y como se muestra en la siguiente ilustración.

En definitiva, si bien el cálculo de los descuentos con porcentajes es una tarea muy sencilla con la calculadora, deberemos conocer la lógica de la nuestra para poder realizarlos de una manera más práctica y así evitar tener que hacerlo en los dos pasos que hemos explicado en el primer punto del ejemplo práctico (que consiste en obtener el valor primero y luego realizar la resta).

Jacob Sierra Díaz y Altair

Tecla de raíz cuadrada en la calculadora

En algunos modelos de calculadoras básicas podemos encontrar una tecla que corresponde con la operación de raíz cuadrada (√). Normalmente se encuentra muy cerca de las teclas de las operaciones básicas (+, -, x y ÷). Sin embargo, dependiendo del modelo de calculadora, deberemos invocar esta operación de una manera distinta a cómo la escribimos en el papel. 

En los modelos actuales de calculadoras científicas, es habitual obtener una raíz cuadrada pulsando (primero) sobre el símbolo de la operación (√), (segundo) escribiendo el número y (tercero) pulsando sobre la tecla igual (=). No obstante, en las calculadoras básicas no científicas el procedimiento puede ser distinto; y se resume en que el operador (√) debe ir después del número.

Si el fabricante no menciona lo contrario, para hacer una raíz cuadrada con la calculadora básica deberemos:

• Teclear el número con el que vamos a obtener la raíz cuadrada.

• Pulsar sobre el botón de raíz cuadrada (√).

• No es necesario pulsar el igual. Automáticamente se mostrará el resultado.

A continuación, se muestra el ejemplo práctico de cómo obtener la raíz cuadrada de 36 y de 112 en una calculadora básica:

Por supuesto, para calcular una raíz con un índice superior a 2 deberemos usar una calculadora científica, ya que con una básica solo podremos obtener raíces cuadradas.

Jacob Sierra Díaz y Altair

Potencias en la calculadora

Si bien es cierto que muchas calculadoras básicas de oficina no poseen un botón específico para la potenciación (xⁿ; multiplicación de x n veces seguidas) podemos realizar este cálculo de una manera relativamente sencilla en cualquier calculadora.

En efecto, la potenciación consiste en elevar un número x a la potencia de otro n. En las calculadoras científicas existe una tecla específica para hacer potencias cuadradas (suele ser la tecla x²) o de otro exponente (suele ser la tecla x^o). Sin embargo, en las calculadoras básicas tendremos que multiplicar el número por sí mismo y presionar la tecla igual (=) tantas veces indique el exponente menos una [exponente - 1 = número de veces que presionamos la tecla igual], dando finalmente el resultado de la potencia.

• Por ejemplo, si queremos obtener la potencia 2² debemos teclear 2 x 2.

• Si quisiésemos obtener la potencia 3⁵ deberíamos teclear 3 x 3 x 3 x 3 x 3.

• Sin embargo, también es posible teclear 3 x 3 y presionar cuatro veces la tecla del igual (=), que dará como resultado 243. ¿Por qué presionamos cuatro veces y no cinco, que es lo que marca el exponente? Porque ya hemos introducido un par de factores (3 · 3) para crear la multiplicación y en la primera pulsación del igual partimos del cuadrado de dicho número (3²). 

• ¡Importante! Hay que tener en cuenta que el número de pulsaciones del símbolo igual no corresponde con el número del exponente de la potencia que tenemos que obtener. El secreto o truco está en restar al exponente uno y convertirlo en el número de pulsaciones de la tecla igual [exponente - 1 = número de veces que presionamos la tecla igual].

• Por ejemplo, para la potencia 7⁴ tenemos que restar 4 - 1 para saber el número de pulsaciones (en este caso tres) que tendremos que dar una vez que hayamos tecleado 7 x 7. Entonces, para llegar a la potencia 7⁴ cuyo resultado es 2401, tendremos que pulsar tres veces la tecla del igual (porque partimos de 7² al haber introducido previamente 7 · 7)

• En caso de que no deseemos hacer una resta y aplicar la "fórmula" exponente - 1 = número de pulsaciones con la tecla igual, podemos empezar a contar desde el número dos la primera pulsación de la tecla =; que equivaldría al cuadrado de la potencia que hemos introducido manualmente hasta llegar al exponente deseado (que coincidirá con el número de pulsaciones de la tecla igual).

Entonces, para obtener el resultado, pongamos, de la potencia 2⁸ debemos poner en nuestra calculadora 2 x 2 y pulsar siete veces (8 - 1) la tecla igual, que dará como resultado 256. Ahora que ya conocer cómo hacer potencias en una calculadora básica, prueba ha obtener las siguientes potencias: 3¹⁰; 6⁶; 17⁴ y 23³

Jacob Sierra Díaz y Altair

Jerarquía en las calculadoras

Una de las cuestiones que tenemos que saber de nuestra calculadora nueva es si respeta o no el orden de prioridad de las operaciones matemáticas. Como ya sabemos, para realizar operaciones combinadas debemos respetar una serie de reglas establecidas que visualmente resumimos en la Pirámide de Jerarquía de las Operaciones [véase ilustración lateral]. 

Aunque podemos leer el manual que acompaña la calculadora, con un sencillo cálculo podremos averiguarlo.

La operación combinada  6 + 2 · 5 debe dar como resultado 16 porque, siguiendo la jerarquía de las operaciones, debemos calcular la multiplicación antes que la suma. Esto es 6 + 2 · 5, entonces 6 + 10 y como resultado 16.

Esta misma operación la realizaremos en nuestra calculadora y en función del resultado, podremos saber si realiza los cálculos respetando la jerarquía o, por el caso contrario, lo realiza de manera lineal:

En la actualidad, la mayoría de calculadoras científicas modernas respetan la jerarquía de las operaciones. Si bien, este no es el caso mayoritario de las calculadoras básicas de oficina, orientadas más bien a cálculos elementales rápidos basados en el operador que se introduzca primero.

• Ahora que ya conoces esta comprobación, descubre si la calculadora de tu móvil es jerarquía o no.

Jacob Sierra Díaz y Altair

Tablas de multiplicar con la calculadora

Con una calculadora básica de oficina podemos obtener fácilmente cualquier resultado de las tablas de multiplicar. El único límite será el número de dígitos de la calculadora. Para ello, tendremos que sumar el número del que queramos sacar la tabla de multiplicar consigo mismo y pulsar las veces que queramos la tecla del igual (=), tal y como se muestra en la siguiente imagen:

Entonces, si queremos obtener la tabla de multiplicar del tres, por ejemplo, pulsaremos en nuestra calculadora 3 + 3 y apretaremos sucesivas veces la tecla igual para obtener toda la tabla de multiplicar del tres (hasta que la calculadora no pueda mostrar más números en la pantalla). No obstante, ten en cuenta que el número de pulsaciones de la tecla igual no corresponde con el segundo número de la tabla de multiplicar. Así por ejemplo, el resultado que nos muestra la calculadora cuando pulsamos por octava vez la tecla igual (=) en la calculadora para hacer la tabla de multiplicar del cinco no corresponde con 8 · 5 (8 x 5 = 40), sino con 8 · 9 (8 x 9 = 45). Si bien esto no supone un grave problema, se debe a que comenzamos las tablas de multiplicar por el dos (en el ejemplo, 5 + 5 = 5 · 2). Para corregir este pequeño problema, podemos sumar uno al número de pulsación para saber qué número está multiplicando a nuestro primer número que da nombre a la tabla de multiplicar. Volviendo al ejemplo anterior, hemos pulsado la tecla = ocho veces; entonces, 8 + 1 = 9, que corresponde con 5 · 9 = 45.

Desde luego, esta funcionalidad de la calculadora ayudará a los alumnos de Educación Primaria a aprenderse las tablas de multiplicar más importantes de una manera atractiva, a la vez que van apreciando la utilidad que tienen las calculadoras como herramientas matemáticas y de aprendizaje.

Jacob Sierra Díaz y Altair

San MateValentín-19

Hoy, os regalamos un corazón tridimensional para regalar a esa persona tan especial o, incluso, a uno mismo. Pero, como ya es habitual, lo haremos de una manera matemática:

Si trasladamos esta función a un generador de funciones digitales podremos obtener este precioso corazón:

¡Feliz día de San Valentín!

Jacob Sierra Díaz

SOLUCIÓN. El vagón del tren

El problema nos decía que teníamos un tren con seis vagones. Cada vagón tiene un número: 4 el primero, 6 el segundo, 8 el tercero... Sin embargo, al último vagón se le ha borrado el número. Siguiendo la lógica del tren, ¿qué número deberá tener el último vagón?

Haz clic aquí para ir al enigma completo.

Este es un buen reto para 

alumnos de Educación Primaria. Nótese que es una buena forma de convertir un "pesado" ejercicio de series numéricas en un divertido y "contextualizado" juego. Así conseguimos que el pensamiento lógico-matemático sea más ameno.

La solución es muy sencilla. Seguramente no haría falta esta entrada al blog de lo básico que es. Los vagones siguen una serie lógica de los primeros números pares. Por lo tanto el número del vagón que se ha borrado debe ser el 14.

Jacob Sierra Díaz

La ley de las distancias del Sistema Solar

En el siglo XVIII dos astrónomos enunciaron una fórmula matemática que indicaba la separación de los planetas del Sistema Solar en Unidades Astronómicas (UAs) respecto del Sol. 

Esta ley, llamada ley de Titius-Bode en honor a los astrónomos que la establecieron, consiste en hacer una serie matemática que empieza con los números 0 - 3, y continúa multiplicando el último número de la serie por dos. Es decir, se debe doblar (multiplicar por dos) el último número resultado de la operación anterior:

 0 --- 3 --- (x2) --- 6 --- (x2) --- 12 --- (x2) --- 24 --- (x2) --- 48 --- (x2) --- 96 --- (x2) --- etc

A continuación, sumamos cuatro a cada cantidad:

4 --- 7 --- 10 --- 16 --- 28 --- 52 --- 100 --- etc

Bien, ahora lo que hacemos es dividir entre 10 cada cantidad (recorremos la coma a la izquierda).

0,4 --- 0,7 --- 1 --- 1,6 --- 2,8 --- 5,2 --- 10 --- etc

Estas primeras cifras de la serie nos permite saber el alejamiento de cada planeta con respecto al Sol expresado en Unidades Astronómicas (UAs). No olvidemos que no dejan de ser distancias aproximadas obtenidas del siglo XVIII. Así:

• Mercurio: 0,4 UAs aproximadamente [0,38 UAs en realidad]

• Venus: 0,7 UAs aproximadamente [0,72 UAs en realidad]

• La Tierra: 1 UA

• Marte: 1,6 UAs aproximadamente [1,52 UAs en realidad]

• Júpiter: 5,2 UAs aproximadamente [5,20 UAs en realidad]

• Saturno: 10 UAs aproximadamente [9,54 UAs en realidad]

¿Y qué pasa con el número 2,8? Es cierto que a 2,8 UAs no se ha localizado ningún planeta. Sin embargo, en 1801, después de la publicación de esta ley, Giuseppe Piazzi descubrió Ceres (planeta enano entre las órbitas de Marte y Júpiter).

Más tarde, el descubrimiento de Urano no hizo más que reforzar esta ley. Este planeta azulado está a 19,2 UAs, lo que según la ley Titius-Bode lo pone a 19,6 UAs (siguiendo la serie tras el 100).

Todo parecía que se había hallado la clave (o la ley) para seguir descubriendo las distancias de futuros planetas. Sin embargo, según Henarejos (2009), lo que empezó siendo una ley, acabó siendo una anécdota histórico-científica. Esto es debido a que con el descubrimiento de Neptuno y Plutón las distancias de la serie no se cumplían en absoluto, y por lo tanto ya no valía (o no era tan buena como se creía).

No obstante es un buen recurso que hoy en día podemos usar para hallar la distancia de una manera matemática y lógica de los primeros planetas (empezando por el Sol) y otros astros (i.e., Ceres) del Sistema Solar... ¡Los cuales son la gran mayoría!.

Fuente bibliográfica

• Henarejos, P. (2009). Observación del Cielo: guías de bolsillo. Madrid: TIKAL ediciones. [ISBN: 978-84-305-5889-6 (254 páginas)].

Jacob Sierra Díaz y Altair

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