Cálculo de los ángulos de un triángulo rectángulo

¿Cómo calcular los ángulos de un triángulo rectángulo? Supongamos que queremos hallar la hipotenusa b y los valores de los ángulos A, B y C del siguiente triángulo rectángulo:

Seguramente que la primera duda que nos viene a la cabeza al ver este problema de trigonometría es ¿por dónde empiezo? La respuesta es muy sencilla... ¡Por lo más fácil!

Y lo más fácil es hallar el ángulo B. Este es un ángulo recto, y por lo tanto mide 90º. Recuerda que todos los ángulos rectos siempre miden 90º.

A continuación, vamos a calcular la hipotenusa b. ¿Cómo? Mediante el famoso Teorema de Pitágoras, el cual dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos elevados (cada uno) al cuadrado [H*H = C*C + C*C]. Entonces, la medida de la hipotenusa la podemos calcular de la siguiente manera:

Ya tenemos todos los lados del triángulo, calculemos ahora el ángulo azul A. ¿Cómo? Con la razón trigonométrica de un ángulo agudo (en un triángulo rectángulo). En concreto, utilizaremos el seno del ángulo agudo A. El seno de un ángulo agudo es igual al cociente entre el cateto opuesto al ángulo (en nuestro caso el que mide 12 unidades) y la hipotenusa (que es la que acabamos de calcular).  Desarrollemos esta fórmula con nuestro ejemplo: 

Con esto, acabamos de calcular el seno del ángulo A. Gracias a este resultado podremos, a continuación, calcular el ángulo A gracias al arcoseno (despejando A). Esta operación, que puede parecer compleja, es en realidad muy sencilla con una calculadora científica. ¡Comprobémoslo!

Ahora solo nos queda calcular el ángulo C. Para ello, tenemos que tener en cuenta una regla muy sencilla llamada ángulos complementarios. Llamamos ángulos complementarios a aquellos que suman 90º. En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios porque siempre sumarán 90º. Conocemos B y conocemos A (lo acabamos de calcular), apliquemos la fórmula y despejemos C para calcular el ángulo:

A + C = B; A + C = 90º; 36,80º + C = 90º; C = 90º - 36,86º; C = 53,14º

En conclusión; A = 36,86º; B = 90º; b = 20 unidades; C = 53,14º. ¿No te parece asombroso que solo con dos datos hemos sido capaces de calcular los ángulos del triángulo rectángulo? Pues sean cuales sean los datos de cualquier triángulo, el proceso es igual para todos los triángulos rectángulos.

Jacob Sierra Díaz

El primer año

Hoy, hace un año, Enigmáticamente daba sus primeros pasos...

Muchas gracias a todos aquellos que han visitado el blog. Porque al fin y al cabo, Enigmáticamente es vuestro.

¿Qué mejor forma de celebrarlo que con algunas curiosidades matemáticas?

• El regalo de cumpleaños: Existe una paradoja en matemáticas la cual dice que en una fiesta de cumpleaños con 23 invitados, hay un 50% de probabilidades de que por lo menos 2 personas lleguen con el mismo regalo.

• El lazo: Según los matemáticos, existe un total de 177147 formas distintas de atar un lazo. (Profundizaremos esto en otras entradas)

• 2520: 2520 es el número más pequeño que puede ser dividido en formas exacta por los números del 1 al 10

• La pizza matemática: Si tienes una pizza con un radio Z y una altura A, su volumen será pi x (Z x Z) x A => pi·Z·Z·A

"Solo se que no se nada" es una frase de Sócrates es una excelente oración para introducir nuestro siguiente tema de curiosidades científicas: Algunas cosas que la ciencia (aún) no puede explicar:

• Explicación del funcionamiento de nuestra mente: Aunque cada vez más y gracias a la psicología se está investigando sobre nuestro cerebro, parece que es uno de los temas que menos información tenemos.
• Aún no se puede explicar (a ciencia cierta) por qué funcionan los placebos
• Tampoco por qué se tienen Déjà Vu
• Entre otras cosas, aún se desconoce cuánto es el máximo de cantidad de información que un humano es capaz de albergar en su cerebro.

• Explicación de por qué la capa inferior de la superficie del sol es millones de veces más caliente que la superficie.

• Aún se desconoce la función en el cuerpo de los bostezos. Aunque ha habido varias teorías, todas fueron descartadas por la comunidad científica

Tal vez algún día sepamos desvelar estos misterios que la naturaleza aún nos oculta. Tal vez el investigador que descubra algo seas tu :)

Jacob Sierra Díaz

Equivalencia de fracciones

Cuando dos fracciones representan la misma parte de un objeto se dice que son equivalentes.
Por ejemplo, si de tres pizzas iguales tomamos las fracciones correspondientes a 1/3, 2/6 y 3/9, como podemos ver en la siguiente imagen, estamos tomando la misma cantidad de pizza:

Se expresa 2/6 y 3/9 y podemos observar que 2 · 9 =  6 · 3

Podemos obtener fracciones equivalentes a una dada multiplicando numerador y denominador por el mismo número, lo que llamaremos amplificación o dividiendo numerador y denominador por el mismo número, lo que llamaremos simplificación.

• AMPLIFICACIÓN : 2/4 = 3·2 / 4·2 = 6/8

• SIMPLIFICACIÓN: 6/8 = 6 : 2 / 8 : 2 = 3/4 

 

 

 

BIBLIOGRAFÍA

 

IES PEDRO MERCEDES. Unidad 1: El Conjunto de los Números Reales [digital].

 

 

Jacob Sierra Díaz

El fin de Hipatia de Alejandría

Hipatia de Alejandría (c.370 - 415) falleció descuartizada a manos de una muchedumbre de personas creyentes. Se consideraba así misma neoplatónica, pagana y seguidora de las ideas pitagóricas.



Hipatia es la primera matemática de la historia de la humanidad de la que se poseen datos razonablemente ciertos y detallados. Se dice que cuando se le preguntaba por casarse, ella siempre contestaba que estaba casada con la verdad (refiriéndose a las matemáticas).

Entre los múltiples trabajos de Hipatia encontramos comentarios a la Arithmetica de Diofanto. Uno de los problemas que proponía a sus estudiantes era sobre buscar las soluciones enteras del sistema de ecuaciones que vemos en la siguiente imagen, en donde a y b son datos conocidos:

 

Como es lógico, los cristianos, rechazaron sus afirmaciones sobre las ideas platónicas acerca de la naturaleza de Dios y de la vida después de la muerte. Así pues, una muchedumbre extremista cristiana la asaltó un cálido día de marzo del año 415: Empleando conchas afiladas, la desnudaron y despedazaron su cuerpo, arrancando la carne de los huesos, y más tarde, los quemaron.

 

La muerte de Hipatia provocó la salida de muchos eruditos de Alejandría y marcó en muchos sentidos, el fin de siglos de progreso griego en matemáticas. Y es que, durante la Alta Edad Media europea, árabes e hindúes fueron los que desempeñaron los papeles fundamentales en el fomento del progreso de las matemáticas.

 

No fue hasta después del Renacimiento que no hubo otra mujer que se hiciera un nombre en las matemáticas. En este caso hablamos de Maria Agnesi.

 

 

Bibliografía (ISO 690)

 

PICKOVER, Clifford A. El libro de las Matemáticas 1ª ed. Madrid: Librero, 2013. 516 p. ISBN: 978-90-8998-097-7

 

Jacob Sierra Díaz

La prueba del nueve

Sabemos que para comprobar una división tenemos que; dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

• Dividendo (D) = Divisor (d) x Cociente + Resto

 
Sin embargo, existe otra forma de hacer la prueba de la multiplicación distinta a esta. Se trata de hacer la prueba del nueve o la prueba de la cruz.

Tomemos por ejemplo la siguiente división:

 

 

La prueba del nueve recibe su nombre porque es ese número (el nueve) la máxima cantidad que se puede poner en cada lugar de la cruz. Es decir, si hay un número de dos dígitos; como es el caso de esta división, sumaremos sus dígitos entre sí, por ejemplo que el cociente sea 23, por lo que en la cruz deberemos poner 5 porque 2+3 = 5.

 

1.- Comencemos por el divisor. Si se trata de una división con un divisor de una cifra, se pondrá directamente esa cifra en el lugar correspondiente en la cruz, es decir, en la parte superior. Si por el contrario, el divisor tiene más de dos cifras, sumaremos sus dígitos hasta conseguir una cifra inferior o igual a nueve para poner en la tabla.

 

2.- A continuación vamos a completar la parte inferior de la cruz, el cociente. Seguimos los mismos pasos que arriba, si el cociente tiene más de una cifra, sumamos entre ellas mencionadas cifras hasta tener un número menor o igual a nueve para poner en la cruz. Nótese que las dos partes que hemos hecho no tienen por que ser el mismo número, sin embargo, en esta prueba coinciden.

 

3.- Ahora, nos vamos a la parte de la derecha. Aquí multiplicaremos la parte superior de la cruz (divisor) por la parte inferior de esta (cociente) y le sumaremos el resto de la división.

4.- Lo último, sumar todos los números del Dividendo (D) entre sí hasta reducirlos a una cifra inferior o igual que nueve.

 

5.- Para comprobar si está bien la división en esta prueba, las partes laterales deben ser iguales, es decir, deben ser el mismo número. En este caso, es nueve; y sabemos que hemos resuelto bien la división porque da en los laterales el mismo número. (No tiene por que siempre salir nueve, en esta operación a dado la casualidad. Lo único que debe cumplir para que la división esté correcta es el mismo número).

 

Ahora solo tenemos que poner en práctica lo aprendido: En una hoja de papel, haz las siguientes divisiones con sus respectivas pruebas del nueve.

• 4569 : 23

• 48945 : 8

• 15884 : 76

• 238 : 32

 

Jacob Sierra Díaz

La divina proporción

Coge dos tarjetas o carnés (de créditos, de la biblioteca, de identidad) de tu cartera. Pon uno de ellos en horizontal y el otro, a la derecha, en vertical. ¿Qué ocurre?

 

 

En efecto, al trazar la diagonal de la tarjeta horizontal y prolongarla, podremos comprobar con creciente admiración que coincide exactamente con el vértice superior derecho de la tarjeta vertical. Si hiciésemos las pruebas con dos libros de un mismo tamaño (sobre todos las ediciones de bolsillo) es posible que vuelvan a coincidir.

 

¿Coincidir? No... estamos ante un rectángulo áureo, es decir, esta propiedad es exclusiva para dos rectángulo áureos del mismo tamaño. Por lo tanto, podemos afirmar que muchos objetos cotidianos de forma rectangular se han elaborado conla divina proporción en mente (el número de oro, phí -Φ-, es también llamado número áureo, proporción trascendental, número divino o divina proporción). Tal vez, en muchas ocasiones sea casualidad, pero en muchas otras es debido a que los rectángulos o formas geométricas que guardan esta proporción son especialmente agradables a la vista.

 

Muchos autores de renombre han usado esta proporción trascendental para hacer las obras más bellas y famosas de todos los tiempos: La Gioconda de Leonardo, Une baignade á Asniéres de Seurat...

BIBLIOGRAFÍA (ISO 690)

CORBALÁN, Fernando. La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza. Primera edición. España:National Geographic, 2012. 158 p.

 

 

Jacob Sierra Díaz.

Humor matemático

 

En un examen:

 

 

Le puede pasar a cualquier maestro:

Las matemáticas en el cine

En cualquier biblioteca, videoclub, Internet... podemos encontrar películas dedicadas a hechos históricos, bélicas, dramas, de ciencia ficción, etc. Todas esas películas han precisado de matemáticas para haber podido ser realizadas: los ángulos de las cámaras, los minutos de cada plano, la duración de una canción; o sin ir más lejos los programas informáticos para hacer películas tienen una base matemática...


Sin embargo hoy nos vamos a centrar en un genero de películas muy especiales: Vamos a ver algunos de los títulos de películas dedicadas a las matemáticas. (Sin meternos en series tales como NUMB3RS o The Big Bang Theory)


Nótese que la elaboración de este género es muy compleja; partiendo de que se debe usar un lenguaje no muy técnico así como procesos o teorías relativamente sencillas para que el espectador lo entienda, hasta que no todo el mundo estaría dispuesto a ver este tipo tan concreto de películas, (mucha gente cuando va al cine es para entretenerse y no para que una película le haga pensar).


Vamos a empezar nuestra lista en casa, con una película de 2007 dirigida por Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña:

• La habitación de Fermat: Cuatro matemáticos, que no se conocen entre sí, son invitados por un misterioso anfitrión con el pretexto de resolver un gran enigma. Pronto descubren que se encuentran en una sala que empieza a menguar y que corren el riesgo de morir aplastados entre sus paredes si no son capaces de resolver los múltiples enigmas que se les enuncia. Tendrán entonces que averiguar qué relación hay entre ellos y por qué alguien quiere asesinarlos. La trama gira alrededor de la Conjetura de Goldbach (uno de los problemas abiertos más antiguos de las matemáticas relacionados con la teoría de los números), como múltiples enigmas matemáticos.

• Tráiler de la película (pincha aquí)

Cube: En esta película de terror, encontraremos desde habitaciones en forma de hexaedro de diferentes colores hasta claves que hay que descifrar.  Una de las personas atrapadas en las habitaciones es una estudiante de matemáticas que tratará de hallar una estrategia basada en números primos que les permita salir del misterioso lugar en el que están atrapados.

• Tráiler de Cube (pincha aquí)

• Pi, fe en el caos: Es un thriller psicológico con una pequeña dosis de intriga, ciencia ficción y drama que cuenta la historia de un matemático que está trabajando en  el sistema numérico que gestiona y rige el mercado bursátil.

• Tráiler de Pi, fe en el caos (pincha aquí)

• El indomable Will Hunting: Matt Damon encarna a un joven de los suburbio de Boston con una capacidad y un talento innato para los números y los cálculos, pero que sin embargo, también sufre de una serie de problemas emocionales que con ayuda del profesor y terapeuta Sean McGuire (Robin Williams) tratarán de solventar. El trabajo de Sean no es fácil, encauzar ese don innato por los números de Will y superar sus carencias afectivas.  

• Tráiler. El indomable Will Hunting (pulsa aquí)

• 21 Blackjack: Con la ciudad de Las Vegas como escenario, la película 21 Black Jack trata las matemáticas a través de un grupo de estudiantes del Instituto Tecnológico de Massachussets (MIT) y Micky Rosa, profesor de esta asignatura y virtuoso de la estadística que ha desarrollado un sistema que permite ganar en los casinos de esta ciudad grandes sumas de dinero jugando al Black Jack. Acción y entretenimiento están servidos en esta película.

• Tráiler. 21 Blackjack (pulsa aquí)

Jacob Sierra Díaz

El camino para medir

Muchos autores, sobre todos psicopedagogos y maestros, sostienen que el niño recorre un proceso para poder adquirir la capacidad para medir un objeto. Cada autor define este largo camino a través de la clasificación de etapas, fases o estadios; lo que significa que cada autor ha centrado sus estudios en alguna característica o variable, y los ha realizado en un momento concreto; por lo que ninguna clasificación es mejor o peor que otras. 
 
Carmen Chamorro enumera cuatro fases en las que el niño debe pasar para aprender a medir:

• Percepción de la magnitud: Sentir la magnitud con los sentidos, las manos...

 

• Conservación de la magnitud: Es la capacidad de percibir que ciertas magnitudes no cambian cuando aplicamos un cierto cambio al objeto a medir.

• Ordenación de la magnitud: Para esta fase, precisaremos dos o más objetos. Adquirir la ordenación es algo fundamental para el desarrollo lógico matemático; en donde el niño debe comparar y ordenar objetos.

 

• Relación entre magnitudes y el número: A partir de un patrón de medida, medimos algo.

 

Piaget define que existen tres estadios principales por los que el niño tiene que pasar para aprender a medir:

• Comparación perceptiva: En este estadio el niño es un bebé. Ante dos objetos, se percibe una medida mayor que la otra pero no se hace ninguna experiencia de medición.

 

• Comparación perceptiva razonada: Este subestadio del primero es cuando el niño da algún motivo por el cual el objeto es mayor que el otro.

                             
         

• Deslizamientos de objetos: Existe un desplazamiento físico para ponerlos juntos y poder compararlos.

• Adquisición de la transitividad: Es la comparación de un objeto con otro a través de un tercer elemento, un patrón. La transitividad implicará dos comparaciones y una conclusión.

Para poder adquirir las herramientas necesarias para medir, en la escuela se hace una clasificación de medidas y materiales.

• Medidas antropométricas: Son las medidas realizadas con las distintas partes del cuerpo:
• Palmos, manos, pies... para la longitud
• Puñados... para el volumen
• Palmo cerrado... para la superficie o área

• Medidas ergonométricas: Son objetos del universo del niño: Cubitos, vasitos de yogurt, lapiceros...

• Medidas convencionales: Aquí, existe una convención universal o grupo de personas para medir todos de la misma forma: Metro, regla, cuentakilómetros

Además los materiales se pueden clasificar también en específicos y no específicos o inespecíficos:

• Materiales específicos: Diseñados por el hombre para alguna tarea determinada

• Materiales inespecíficos: No tienen asignada una tarea específica. Pueden realizar más funciones que los específicos

 

 

 

 

CONCEPTOS BÁSICOS EN LA MEDIDA

 

 

Iteración de la unidad: Consiste en repetir el patrón tantas veces como sea necesario para medir una longitud determinada (o cualquier otra magnitud). En todas las marcas, el metro está representando la iteración de la unidad.

 

Estimación: Idea a priori del valor de medida de una magnitud antes de realizar una medición. Puesto que hay muchas situaciones relativas, es preciso hacer una estimación

 

Error: Diferencia entre la medida real de un objeto y la medida experimental. Siempre que se hace una medición, existe un margen de error.

Aproximación: Es un valor cercano a la medida de un objeto que se toma para simplificar los números. Existen varias formas de aproximar:

• Redondeo: Tomar el valor más alto en la última cifra como aproximación: 3,49 -->  3,5. Es la que más gusta a los estudiantes :)

• Truncamiento: 3,49 --> 3,4

• Normalmente; se redondeará, según los casos, cuando la última cifra es mayor o igual que 5 y se trunca cuando es menor o igual a 5.

Jacob Sierra Díaz y UCLM (Didáctica de la Geometría y la Medida: Prof. Ignacio Ramis Conde)