Los famosos números primos

Los números primos han fascinado a muchas personas por sus singularidades. De hecho, gracias a ellos, podemos realizar transacciones bancarias con seguridad, encriptar datos sensibles de nuestros equipos informáticos o progresar en el desarrollo de la Teoría Cuántica. Además, con los números primos se postula un importante teorema de aritmética básica.

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un número (hasta aquí todo bien) mayor a 1 que solo puede ser divido de manera exacta (sin resto, ni parte decimal) entre sí mismo o entre 1 (la unidad). También podemos definir un número primo como aquel que tiene dos divisores que dan un resultado exacto (sin resto ni parte decimal).

• Por ejemplo, el 5 es un número primo. Este no puede ser divido sin resto por cualquier otro número distinto al 5 (consigo mismo) o al 1 (la unidad). Entonces, el 5 es un número primo porque tiene dos divisores que dan un resultado exacto: el 5 y el 1.

• Por el contrario, por ejemplo, el 6 no es un número primo. Este puede ser divido exactamente por más de dos números. En concreto el 1 (6 : 1 = 6), el 2 (6 : 2 = 3), el 3 (6 : 3 = 2) y el 6 (6 : 6 = 1).

Teorema Fundamental de la Aritmética

Los números primos son el eje central del denominado Teorema Fundamental de la Aritmética. Este teorema enuncia que todo número entero mayor que 1 se puede expresar únicamente como el productor de números primos. 

• Por ejemplo, el número 10 se puede expresar como 2 · 5, números primos. Cualquier número (entero mayor que 1) que imaginemos podemos formularlos como dos o más productos de números primos. Por ejemplo, el 12 se puede expresar como 2 · 2 · 3 o el 14 como 2 · 7 o 16 como 2 · 2 · 2 · 2.

La belleza de este teorema es observar a los números primos como bloques de construcción (como si de un LEGO se tratase). Así, para "construir" el número 42 tendremos que multiplicar el 2, el 3 y el 7. Ningún otro conjunto de "bloques" (números primos) podremos usar para "construir" el 42.

Lista de números primos

Ahora que ya conocemos el concepto de número primos y una de las "maravillas" de las Matemáticas con el Teorema Fundamental de la Aritmética, es posible que surja la pregunta ¿cuántos números primos existen? Una respuesta rápida y sencilla es que hay infinitos números primos. Esto ya lo demostró Euclides en la Edad Antigua, subrayando la curiosidad de que no se puede encontrar ningún número primo par mayor a 2. 

Sin embargo, uno de los "problemas" de los números primos es que no se distribuyen en la recta numérica siguiendo un patrón exacto. En efecto, no hay ninguna fórmula matemática que permita identificarlos a todos. Lo único que se puede hacer es estudiar su frecuencia en intervalos numéricos. Así, del intervalo 1 - 100 encontraremos 25 números primos; y del intervalo 101 - 200 encontraremos 21. Curiosamente a partir del intervalo 201 - 300 la cifra es menor y podremos encontrar solo 16 números primos. Esto no significa que no haya habido a lo largo de la Historia intentos para establecer un patrón o una fórmula matemática: la hipótesis de Riemann es un teorema que no está demostrado que sostiene que la distribución de números primos puede predecirse.

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair

La clave de las demostraciones matemáticas

Si hay algo que diferencia cualquier ciencia de cualquier otra disciplina es que esta se pueda demostrar. Las Matemáticas no son una excepción. Todas las teorías y teoremas deben ser demostrados por una serie de pasos lógicos sistemáticos que parten de verdades matemáticas ya establecidas (axiomas). Por ejemplo, 1 + 1 = 2 se puede demostrar empíricamente (en este caso absurdo) ya que 1 manzana más 1 manzana son 2 manzanas. Por lo tanto, 1 unidad más 1 unidad son 2 unidades.

Definición de demostraciones matemáticas

Cualquier idea matemática (o científica) puede ser válida siempre y cuando se demuestre de una manera lógica y racional. De ahí que muchas veces consideramos a las Matemáticas como algo 'casi perfecto'. Existen muchas formas de demostrar los conceptos (matemáticos), desde la demostración de la existencia de algo (como puede ser una solución a una ecuación) hasta la demostración de un hecho general (como puede ser que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional); pasando por la singularidad, que significa que solo hay una única solución.

Para demostrar científicamente (y matemáticamente) algo con total seguridad se debe seguir una serie de procedimientos particulares que en un principio pueden parecer no muy lógicos. A este respecto, cualquier teoría matemática se demuestra desde la falsabilidad o la refutabilidad. Es decir, aunque no se conozca ninguna demostración de un teorema no significa que sea cierto hasta el momento que se demuestre que dicho teorema es falso.

Métodos de demostración matemática

Existen principalmente tres métodos para demostrar ideas y teorías matemáticas:

• Método de deducción. La lógica deductiva es el proceso por el cual se llega a una conclusión a través de una serie de ideas previamente establecidas. Entonces, el siguiente paso a dar parte de otro previamente establecido.

Un ejemplo básico no matemático de esta lógica sería partir de las siguientes dos verdades: "todas las personas viva respiran", "Gonzalo es una persona". Se sabe que el no respirar no es compatible con la vida ya que el organismo necesita oxígeno (el primer axioma es correcto). A través de una lógica deductiva y sabiendo que Gonzalo es una persona (el segundo axioma es correcto), podemos llegar a la conclusión de que Gonzalo está respirando. En resumen, a través de dos ideas (verdaderas) previas, las relacionamos entre sí para llegar a una conclusión cierta lógicamente hablando.

• Método de inducción matemática. Por el contrario, la inducción matemática es un método que usaremos cuando tratamos de establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones. En términos generales, un resultado se prueba en un caso particular y luego se prueba en otros casos hasta que se puede generalizar en la mayoría de casos. 

• El método reductio ad absurdum. Se trata de un método que consiste en demostrar que un resultado es cierto porque no hay otra solución posible. Entonces, consiste en suponer que el resultado a demostrar es falso y llegar, a partir de ahí, a una contradicción.

QED

De acuerdo con Polster (2004), cuando se demuestra que una teoría matemática es cierta, se escribe al final de dicha demostración las iniciales QED. Estas siglas proceden de la expresión en latín Quod erat demonstrandum; que se puede traducir como Queda demostrado. 

Ideas matemáticamente aún no probadas

Estas son algunas de las ideas que aún no están demostradas formalmente. De hecho, ciertas instituciones como el Clay Mathematics Institute (New Hampshire) ofrecen una recompensa económica por encontrar una demostración matemática y una solución satisfactoria a estas y otras cuestiones:

• Si la solución a un problema puede verificarse rápidamente, ¿puede este también hallarse rápidamente?

• Demostración de la hipótesis de Hodge (que ciertas clases de homología en un espacio arbitrario sean algebraicas).

• Hipótesis de Birch y Swinnerton-Dyer. Demostrar si las curvas elípticas tienen un número finito de soluciones racionales.

• Demostrar la hipótesis de Riemann, que dice que los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tengan un componente real de 1/2.

Breve historia de las demostraciones matemáticas

• Se tiene constancia que ya por el siglo V a.C. Tales e Hipócrates demostraron matemáticamente los primeros teoremas geométricos.

• En el año 300 a.C. Euclides realiza deducciones a partir de axiomas o verdades matemáticas (como la que se ha visto en la imagen superior), proponiendo una nueva metodología en el avance matemático.

• En el siglo X pensadores islámicos desarrollan demostraciones algebraicas en esta rama de conocimiento.

• En 1974 Kenneth Appel y Wolfgang Happel ponen a prueba el teorema de los cuatro colores.

• En 1994 Andrew Wiles demuestra el conocido como último Teorema de Fermat.

• En 2006 Grigori Perelman demuestra la conocida Hipótesis de Poincaré.

• En nuestros días, gracias al avance de la tecnología, demostrar matemáticamente algo es relativamente más fácil y rápido.

Fuentes bibliográficas

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

• Polster, B. (2004). Book I. Q.E.D. Beauty in mathematical proof. En SCIENCIA (pp. 7-53). Woden Books.

Jacob Sierra Díaz y Altair

El famoso Pitágoras y su teorema

Sin lugar a dudas, Pitágoras de Samos es uno de los matemáticos más famosos que hizo importantes contribuciones en campos como la Filosofía, la Política y, por supuesto, las Matemáticas. Pitágoras nació en el año 570 a.C. en una ciudad griega llamada Samos, aunque gran parte de su vida estuvo en Crotona (al sur de Italia). Fue discípulo de Tales de Mileto y fundador de la Hermandad Pitagórica, de la que hablaremos más adelante.

El teorema de Pitágoras

Vamos a ver uno de los teoremas más importantes de la geometría euclídea, el cual establece una (bella) relación entre las las longitudes de los tres lados de cualquier triángulo rectángulo. El teorema en cuestión establece que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos (los lados más cortos) es igual al cuadrado construido sobre su hipotenusa (el lado más largo).

Este teorema se ve claramente en la siguiente representación. Fíjate como la suma de los cuadrados que forman los catetos del triángulo rectángulo (9 y 16) es igual al área del cuadrado que forma la hipotenusa (25). Con esto podemos decir que: Cateto² + Cateto² = Hipotenusa²

El teorema de Pitágoras se suele dar en términos de las áreas de cuadrados. Sin embargo, funciona con cualquier forma geométrica regular. Por ejemplo, para pentágonos regulares el área del pentágono en el lado de la hipotenusa sigue siendo igual a la suma de las áreas de los pentágonos que forman los catetos.

Pero, ¿qué pasaría si Pitágoras realmente no descubrió esta bella relación? Se piensa que este teorema ya era conocido por los antiguos mesopotámicos 1.200 años antes de Pitágoras. Sin embargo, se cree que Pitágoras tiene el mérito de haber demostrado matemáticamente el teorema a partir de axiomas matemáticos. Sea como fuese, Pitágoras fue un gran precursor de este teorema y arrojó mucha luz al conocimiento geométrico.

Una curiosidad dentro del Teorema de Pitágoras son las ternas pitagóricas. Se trata de un conjunto de números enteros que tienen los catetos y que da como resultado otro número entero en la hipotenusa. El primer ejemplo de terna pitagórica lo hemos visto en el ejemplo anterior: 3² + 4² = 5² da como resultado 9 + 16 = 25, tres números enteros. Otro ejemplo será 5² + 12² = 13² dando como resultado 25 + 144 = 169. Tenemos solo cinco conjunto de ternas con valores menores a 50.

La escuela-hermandad pitagórica

A parte de su contribución al mundo de las Matemáticas, Pitágoras era un filósofo que desarrolló una escuela-hermandad con unas normas rígidas. Los seguidores de Pitágoras se llamaban pitagóricos y estos tenían que comportarse de una manera ejemplar. 

El pitagórico debía de instruirse principalmente en Matemáticas y Filosofía. Además, no podía comer ningún alimento de procedencia animal. Debía llevar ropa de color blanco y hacer ejercicios físicos diarios. Por otra parte, no había propiedad privada. Con el fin de evitar el egoísmo, todos los bienes privados se ponían al servicio de la hermandad. 

Lo pitagóricos se dividían en dos clases: los oyentes (o akusmáticos) y los iniciados (o matemáticos). Para llegar a ser iniciado, se debían cumplir varios años de formación y superar una serie de pruebas físicas y mentales antes de poder pertenecer a la hermandad. 

Fruto de su obsesión con la Geometría, Pitágoras creó para su institución el Triángulo Tetraktys. Como se ve en la ilustración lateral, se trata de un triángulo que consta de 10 puntos acomodados en cuatro hileras y que representan la esencia de todas las cosas: el punto de arriba representa precisamente el punto; los dos puntos representan la recta; los tres puntos representan la superficie y la última hilera representa el volumen. Por último, el triángulo en su conjunto representa el número perfecto, que es el 10.

Creencias de Pitágoras

Pitágoras creía en la metempsicosis (inmortalidad del alma a través de la reencarnación). Además, él sostenía que tanto las estrellas como los planetas se movían conforme a una armonía musical tan bella que era imperceptible por los humanos. Por último, cabe destacar que Pitágoras confería una propiedad sagrada a todas aquellas cosas hechas por números.

Desde luego, aún queda mucho por contar de Pitágoras, pero esperemos que esta sea una invitación breve y atractiva para seguir conociendo más sobre este importante matemático. Nuestro protagonista murió en 495 a.C. en Metaponto. 

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair

Introducción a la potenciación

xⁿ; querido lector, estás ante una potencia. La potenciación es una operación matemática que consiste en elevar un número x a la potencia de otro número b. En esencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que todos sus factores son iguales: la base es el factor que se repite y el exponente es el número de afecte que se repite.

Potencias de exponente natural

Precisamente llamamos potencia de exponente natural a la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. En este caso, el número grande se llama base y es el factor que se repite en la multiplicación; ¿cuántas veces? esto nos lo indica el número pequeño que "está encima de la base" y que llamamos exponente.

xⁿ es fácil de escribirlo. Pero, ¿cómo se lee?, básicamente x elevado a n. En concreto, cuando el exponente n es 2, decimos que el número x está elevado al cuadrado (por ejemplo, 9² se lee como nueve elevado al cuadrado); y cuando el exponente n es 3, decimos que el número x está elevado al cubo (por ejemplo, 8³ se lee como ocho elevado al cubo). Cuando son exponentes mayores a 3 usamos el término fraccionario (por ejemplo, 4⁴ se lee como cuatro a la cuarta o, también, cuatro elevado a cuatro).

¿Qué pasa cuando la potencia está elevado a 0? Cualquier ponencia elevada a 0 es igual a 1.

Potencias de base diez

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica su exponente. Así por ejemplo 10⁴ (diez elevado a cuatro) tiene 4 ceros y es diez mil o 10.000; o 10⁶ (diez elevado a seis) tiene 6 ceros y es un millón o 1.000.000.

Las potencias de base diez permite escribir números muy grandes de manera reducida. Son la base de la denominada notación científica.

Potencias de exponente negativo

x^-n es una potencia de exponente negativo y es igual a decir 1/x^-n. Este tipo de potencias también reciben el nombre de potencias negativas. Independientemente del nombre que usemos se trata del inverso de un número elevado al exponente positivo.

Las potencias en la Historia

• Siglos II y III a.C. Euclides acuña el término potencia para describir el cuadrado de un número.

• Siglo III a.C. Arquímedes descubre que 10^a · 10^b = 10^a+b

• 1544. Michael Stifel propone usar la palabra exponente.

• 1637. René Descartes es el primer pensador en emplear la notación exponencial moderna (xⁿ) que hoy en día usamos.

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair

Tales de Mileto: el precursor de los teoremas

Tales de Mileto fue uno de los primeros eruditos en hacer uso del razonamiento deductivo en Matemáticas. De hecho, es considerado el primer científico de la humanidad en hacer un descubrimiento matemático haciendo aportaciones muy relevantes en el campo de la Geometría.

Nació en el año 624 a.C. en Mileto, Jonia; una antigua provincia griega en la costa actual de Turquía. De hecho, formó parte de la denominada Escuela Jónica durante gran parte de su vida. Procedía de una familia de prósperos comerciantes, muy relacionados con el mundo de las cuentas y las operaciones aritméticas elementales. No obstante, Tales rechazó el mundo comercial para reflexionar sobre Matemáticas y Astronomía.

El famoso Teorema de Tales

Sin lugar a dudas, su gran pasión fue la Geometría. No es de extrañar que esto dio origen a los primeros teoremas matemáticos registrados en la historia. El más famoso recibe su nombre.

• El Teorema de Tales demuestra la relación de proporcionalidad entre los segmentos que delimitan rectas secantes sobre rectas paralelas. Se trata de un teorema muy útil que nos permite dividir un segmento en partes iguales o proporcionales a otro segmento. 

En resumidas cuentas, este teorema nos indica que dos parejas de segmentos correspondientes cualesquiera determinados sobre r y r' son proporcionales.

El teorema de la intersección

Una aplicación del famoso teorema de Tales es el estudio de las semejanzas entre triángulos. Supongamos un triángulo ABC que se corta con una recta paralela al lado BC, tal y como se muestra en la siguiente ilustración.

Entonces, con lo que ya sabemos del primer teorema, sabemos que AB / AB' = AC / AC' = BC / B'C'. Este tipo de triángulos también se conoce con el nombre de triángulos en posición de Tales e indica que los triángulos tienen los tres ángulos iguales y los tres lados proporcionales. Por lo tanto, son triángulos semejantes. 

Otros hitos de Tales

Se sabe que Tales viajó a Egipto para determinar la altura de la famosa pirámide de Keops. Sin embargo, no parecía tarea sencilla porque el punto de corte de la altura de la pirámide con el suelo estaba en un lugar inaccesible. Encontramos varias versiones de cómo Tales solventó este problema y halló la altura exacta de la pirámide. Gracias a sus recientes descubrimientos de la semejanza de triángulos y sus saberes en Astronomía, supo que había dos días al año en que la altura de un objeto vertical y su sombra tenían la misma longitud. Aprovechando esto, Tales usó ese día especial para medir la sombra de la pirámide y su sombra. Una vez obtenido el valor, le sumó la mitad de la arista básica y consiguió el valor de la altura. 

Es curioso como a su regreso a Mileto muchas personas se burlaban de él porque dedicaba mucho tiempo de su vida al trabajo matemático y la observación astronómica. Ante esto, Tales decidió sacar rédito a su conocimiento y dar una gran lección a todas esas personas. Así, sus investigaciones sobre el tiempo atmosférico le permitieron predecir el mejor año para la cosecha de aceitunas. Se dice que antes de ese año, Tales se apresuro en comprar todas las presas de aceitunas de Mileto. Al año siguiente, en efecto, la cosecha fue de las mejores y, ante la sorpresa de todas aquellas personas que se burlaron de él, tuvieron que pagarle para usar las presas.

Estos eventos nos sirven para demostrar que Tales no solo se centró en el estudio de la Geometría. De hecho, se dice que fue un gran apasionado de la Astronomía. Según el historiador griego Herodoto, Tales predijo el eclipse solar del 28 de mayor de 585 a.C.

Tales murió a los 78 años de edad debido a un golpe de calor mientras estaba disfrutando de los quincuagésimos octavos Juegos Olímpicos en el año 545 a.C.

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair

El estudio de los triángulos

Los antiguos griegos, encabezados por Euclides, fueron las primeras personas que estudiaron y postularon las primeras líneas de la geometría del triángulo.  Un triángulo es  un polígono de tres lados (designados por letras minúsculas) y tres vértices (designados con letras mayúsculas).

Tipos de triángulos

Las taxonomías de los triángulos se rigen por dos criterios principales, basadas en las características de los lados y los ángulos:

• Tres tipos de triángulos según sus lados. Equilátero, Isósceles y Escaleno.

• Tres tipos de triángulos según sus ángulos. Acutángulo, Rectángulo y Obtusángulo.

Clasificación de los de ángulos

El segundo criterio anterior se basa en el estudio de los ángulos del triángulo. Por su parte, los ángulos también se pueden clasificar en función de tres criterios principales.

• Tipos de ángulos en función de la posición de las semirrectas. Ángulo nulo, Ángulo recto, Ángulo llano y Ángulo completo.

• Tipos de ángulos en función de la abertura. Esta es la clasificación mejor conocida y que da nombre a la clasificación vista anteriormente en los triángulos. Ángulo agudo, Ángulo recto, Ángulo obtuso y Ángulo llano.

• Clasificación de los ángulos según la posición relativa. Ángulos externos, Ángulos opuestos por el vértice, Ángulos consecutivos y Ángulos adyacentes.

De la mano de Euclides, desde la Edad Antigua se sabe que la suma de los ángulos cualquier triángulo (independientemente de su tipo) debe ser 180°.

Triángulos semejantes y congruentes

¿Qué pasa cuando nos encontramos con dos triángulos que tienen la misma forma pero distinto tamaño? Básicamente, los denominaremos triángulos semejantes. Se dice que dos figuras (no tienen por qué ser solo dos triángulos) son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales. Entonces, una semejanza transforma una figura en otra semejante a través de lo que se llama razón de semejanza. Para calcular la razón de semejanza, se divide una longitud de la figura transformada entre la longitud correspondiente de la figura original.

¿Qué pasa cuando tenemos dos triángulos con la misma forma y el mismo tamaño? Pues que estamos ante lo que denominamos triángulos congruentes. Es decir, dos figuras son congruentes cuando tienen los lados iguales y presentan el mismo tamaño.

 

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair

El origen de la Geometría

Todo el mundo ha oido alguna vez en su vida la palabra geometría, pero muy poca gente conoce su verdadero origen. Esta palabra deriva de los términos griego "geo" (Tierra) y "metron" (medida). En efecto, geometría significa literalmente medida de la Tierra. No es de extrañar este nombre porque la geometría nos permite apreciar la naturaleza de muchas cosas de nuestro mundo y del universo.

Los prioneros de la Geometría 

Según el historiador griego Herodoto (siglo V a.C.), la Geometría fue inventada por la civilización egipcia. Esto fue debido a que en Egipto se hizo muy necesario trazar los límites de las parcelas anejas al río Nilo. De hecho, de acuerdo a varios estudios históricos, a los geómetras egipcios se les llamaba "tentadores de cuerdas" ya que, antes del desarrollo de la cinta métrica, empleaban una cuerda con nudos. 

En concreto, los pensadores egipcios sabían que una cuerda con doce nudos regularmente separados servía para definir un ángulo recto de 3 unidades (dos nudos), 4 unidades (tres nudos) y 5 unidades (cuatro nudos). De hecho, este fue el sistema que emplearon para sus construcciones.

En geometría partimos de una propiedad que posee la línea unidimiensional: la longitud. No obstante, cuando hablamos de polígonos o formas bidimensionales (parte del plano limitado por los segmentos que forman una línea polígona cerrada) añadimos, junto a la longitud del perímetro exterior, otra medida relevante denominada área. 

El perímetro del polígono

El perímetro (P) de un polígono se obtiene de la suma de cada lado del mismo. Para ello, la medida de cada lado debe venir dada en la misma unidad. Normalmente representamos el perímetro de un polígono con la letra P. 

Cuando deseemos hallar el perímetro de un polígono regular, tenemos el lado l y el número de lados n (al ser regular, todos los lados miden igual). En tal caso podremos calcular el perímetro realizando la multiplicación entre la medida del lado l y el número de lados: P = n · l. Por supuesto, esto es lo mismo que sumar cada lado (n veces la suma de la longitud del lado l). Sin embargo, en caso de que el perímetro de un polígono sea irregular, deberemos sumar todos sus lados. 

El área del polígono

Definimos área (A) como la porción del plano contenida dentro de la figura geométrica. Dicho de otra forma, el área es la cantidad de superficie que ocupa el polígono. En efecto, el área es la medida de la superficie de dicha figura plana. Una de las características particulares de esta medida es que se mide en unidades cuadradas.

Al contrario del perímetro; que es la suma de cada lado, independientemente de su forma; cada polígono tiene su propia fórmula para calcular su área. Aquí solo veremos las figura básicas (cuadrado, romboide, trapecio, rectángulo, triángulo y rombo):

Breve cronología de la Geometría

• 2000 a.C. Se realiza el primer cálculo del área de un triángulo.

• 260 a.C. Arquímedes calcula áreas de círculos y volúmenes de esferas.

• 1020. Abul Wafa investiga sobre el volumen de un paraboloide.

• Siglo XVIII. Se desarrolla el cálculo integral, permitiendo una nueva manera de obtener el área y volúmenes de formas matemáticas caprichosas.

Fuente bibliográfica

• Parsons, P., y Dixon, G. (2022). Matemáticas en segundos. Librero.

Jacob Sierra Díaz y Altair