Cálculo de los ángulos de un triángulo rectángulo

¿Cómo calcular los ángulos de un triángulo rectángulo? Supongamos que queremos hallar la hipotenusa b y los valores de los ángulos A, B y C del siguiente triángulo rectángulo:

Seguramente que la primera duda que nos viene a la cabeza al ver este problema de trigonometría es ¿por dónde empiezo? La respuesta es muy sencilla... ¡Por lo más fácil!

Y lo más fácil es hallar el ángulo B. Este es un ángulo recto, y por lo tanto mide 90º. Recuerda que todos los ángulos rectos siempre miden 90º.

A continuación, vamos a calcular la hipotenusa b. ¿Cómo? Mediante el famoso Teorema de Pitágoras, el cual dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos elevados (cada uno) al cuadrado [H*H = C*C + C*C]. Entonces, la medida de la hipotenusa la podemos calcular de la siguiente manera:

Ya tenemos todos los lados del triángulo, calculemos ahora el ángulo azul A. ¿Cómo? Con la razón trigonométrica de un ángulo agudo (en un triángulo rectángulo). En concreto, utilizaremos el seno del ángulo agudo A. El seno de un ángulo agudo es igual al cociente entre el cateto opuesto al ángulo (en nuestro caso el que mide 12 unidades) y la hipotenusa (que es la que acabamos de calcular).  Desarrollemos esta fórmula con nuestro ejemplo: 

Con esto, acabamos de calcular el seno del ángulo A. Gracias a este resultado podremos, a continuación, calcular el ángulo A gracias al arcoseno (despejando A). Esta operación, que puede parecer compleja, es en realidad muy sencilla con una calculadora científica. ¡Comprobémoslo!

Ahora solo nos queda calcular el ángulo C. Para ello, tenemos que tener en cuenta una regla muy sencilla llamada ángulos complementarios. Llamamos ángulos complementarios a aquellos que suman 90º. En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios porque siempre sumarán 90º. Conocemos B y conocemos A (lo acabamos de calcular), apliquemos la fórmula y despejemos C para calcular el ángulo:

A + C = B; A + C = 90º; 36,80º + C = 90º; C = 90º - 36,86º; C = 53,14º

En conclusión; A = 36,86º; B = 90º; b = 20 unidades; C = 53,14º. ¿No te parece asombroso que solo con dos datos hemos sido capaces de calcular los ángulos del triángulo rectángulo? Pues sean cuales sean los datos de cualquier triángulo, el proceso es igual para todos los triángulos rectángulos.

Jacob Sierra Díaz

SOLUCIÓN. La escalera numérica

El enigma, al que puedes acceder antes de seguir leyendo en el siguiente enlace, nos preguntaba por el siguiente número de una sucesión numérica ordenada con cierta lógica.

La escalera numérica (Clic aquí para acceder al enigma)

La siguiente cifra de la sucesión numérica no sigue una razón numérica. En realidad, tiene que ver más con las letras que componen los números. Así, el siguiente número de la escalera sería 1001 (mil uno). 

¿Por qué? Porque en la escalera están escritos los primeros números (empezando por el 0 de la recta numérica) que no contienen la vocal e: uno, dos, cuatro, cinco, ocho y mil. Por lo que el siguiente número que sigue que no contenga la vocal es es mil uno, y el siguiente sería mil dos.

Este es un enigma curioso que se puede plantear a modo de curiosidad ligüistica-matemática y, que sin lugar a dudas, será motivo de sonrisas. ¡Es increíble el hecho de saber que desde el ocho hasta el mil los números incluyen por lo menos una `e´! ¿verdad?.

Jacob Sierra Díaz

Febrero (2020): el cielo del mes

Durante el mes más corto del año ¿qué podremos ver en nuestros cielos?

Principalmente y, si el tiempo atmosférico acompaña, podremos ver las fases de la Luna los fines de semana. Además, si estás en el hemisferio sur, no te puedes perder las conjunciones de Marte, Júpiter y Saturno con la Luna, siendo este, el evento astronómico del mes. ¡Pero aún hay más cosas que el universo nos quiere enseñar!

Descarga la guía de las efemérides de febrero (2020) para latitudes 40º Norte para no perderte ninguna cita con el cielo este mes, desde las constelaciones más bellas para observar, hasta la posición de los planetas. Puedes acceder y descargar esta guía haciendo clic en la siguiente imagen, que te llevará directamente a una carpeta de Box.

Deseamos que tengas buenos cielos durante este mes.

Jacob Sierra Díaz y AstroCuenca

Sección de Ciencias del Universo

La escalera numérica

Fijémonos en la siguiente escalera que contiene una serie numérica:

¿Qué número es el siguiente en la escalera, encima del número 1000? ¡Buena suerte!

Haz clic en el enlace para acceder a la solución del enigma > Solución: la escalera numérica (Clic aquí)

Jacob Sierra Díaz

Galileo a examen: inexactitudes históricas del genio

Hace varias décadas en los libros de texto de la asignatura de Ciencias Naturales de Educación Secundaria Obligatoria en España (y seguramente en el resto de países) se pueden apreciar ciertas inexactitudes en temas relacionados con las Ciencias y la Historia de la Astronomía. Estas inexactitudes pueden ocasionar una distorsión de la realidad científica, que si no es tan grave como puede parecer, no responde a la verdad histórico-científica de la humanidad.

En el año 2009, Pérez-Rodríguez, Álvarez-Lires y Serradle-Marzoa publicaron un artículo sobre el análisis de las inexactitudes histórico-científicas detectadas en varios libros de textos usados en Primero de Educación Secundaria Obligatoria (1º ESO; España) para la asignatura de Ciencias Naturales del año 2002. El artículo es de acceso abierto y en el Anexo I se recoge el listado completo de los nueve libros que analizaron.

Uno de los temas más conflictivos que los autores identificaron en su investigación fue la atribución de ciertos descubrimientos o invenciones a Galileo (1564 - 1642). Es precisamente aquí donde nos encontramos con uno de los astromitos más populares:

• Galileo no fue quien inventó el telescopio. Sin bien es cierto que Galileo dedicó bastante tiempo a mejorarlo, su invención data del año 1608 (un año antes de que Galileo supiese de su existencia). En 25 de agosto de 1609 Galileo presentó un telescopio morado de 1,27 metros de largo con una lente convexa en la parte delantera y una lente cóncava en el ocular. Entonces, sí que es cierto que a día de hoy tenemos telescopios mucho más potentes gracias a las innovaciones de Galileo.

En base a este primer astromito surgen otras ideas falsas como que Galileo fue la primera persona que empleó este aparato óptico para fines astronómicos (North, 2001).

• En 1608 se indicaba que el telescopio podía revelar estrellas que eran invisibles al ojo desnudo. Además, se tiene constancia que Thomas Harriot (1560-1621) ya realizaba estudios rigurosos sobre el cielo años antes que el genio italiano. Recordemos que Galileo observó por primera vez estos satélites el 7 de enero de 1610 y en un principio él pensaba que se trataban de estrellas. Sin embargo, realizando observaciones diarias, se dio cuenta que estas "estrellas" se movían pero no se alejaban de Júpiter. Galileo los llamó "Planetas Medicianos" (I, II, III y IV) en honor a la Familia Medici.

Por otro lugar, en varios libros de texto se señala que Galileo fue la primera persona en observar los satélites más grandes de Júpiter. De ahí que se les conozca como satélites galileanos. Sin embargo, según se releva en la investigación de Pérez-Rodríguez et al. (2009), no está del todo claro si ya Simon Marius (1573 - 1624) los observó antes que Galileo.

• Las verdad en este punto no está clara, ya que se tiene constancia que Simon Marius publicó sus observaciones después de las de Galileo. Por ese motivo, más allá de este pequeño apunte histórico, la mayoría de los historiadores e investigadores dan como válida la primera observación de los satélites (con un telescopio mejorado) a Galileo.

• Pero también es cierto que a Simon Marius le debemos el nombre actual de los satélites galieleanos por un poema de 1614: 

"Júpiter es mucho más culpado por los poetas debido a sus irregulares amores. Tres doncellas son mencionadas especialmente por haber sido cortejadas clandestinamente por Júpiter de forma exitosa: Ío, hija del Río, Calisto de Lycaon, Europa de Agenor. Luego fue Gamínedes, el guapo hijo del Rey Tras, a quien Júpiter, habiendo tomado la forma de un águila, transportó en su lomo hasta los cielos, tal y como los poetas narran de una forma fabulosa".

Aquí podemos observar un poco de "justicia poética". Si bien, podemos reconocer el mérito de observación de los satélites a Galileo, fue Marius quien les dio los nombres actuales. Así... ¡todos contentos! 

Fuentes bibliográficas

• North, J. (2001). Historia Fontana de la Astronomía y la Cosmología. Fondo de Cultura Económica.

• Pérez-Rodríguez, U., Álvarez-Lires, M., & Serradle-Marzoa, J. F. (2009). Los errores de los libros de texto de Primer Curso de ESO sobre la evaluación histórica del conocimiento del universo. Investigación Didáctica, 27(1), 109-120.

Jacob Sierra Díaz y Altair

Sección de Ciencias del Universo

Área (superficie) de una esfera

El concepto de esfera es imprescindible para el estudio riguroso de la Astronomía. Una de las fórmulas más importantes a este respecto es el área de superficie de la esfera.

El área de superficie de una esfera cualquiera con radio r es:

Hace mucho tiempo, Arquímedes descubrió que el área de superficie de una esfera era igual al área lateral de superficie de un cilindro con el mismo radio de la esfera y una altura de longitud igual al diámetro de la esfera.

• El área lateral de superficie de un cilindro cualquiera es 2 · π · r · h (expresado a veces como 2 π r h), donde h, altura es siempre igual a 2 · r (ó 2 r)

• Entonces, 2 · π · r · h = 2 · π · r · (2 · r) = 4 · π · r2 (ó directamente 4 π r2) 

Jacob Sierra Díaz y Altair

Sección de Ciencias del Universo

¿Qué hace la gravedad?

Se podría decir que gracias a la gravedad estamos vivos. La fuerza de la gravedad mantiene juntos astros como las estrellas o mantiene los cuerpos en órbita, evitando que estos choquen. De no ser por la gravedad, la materia no se hubiese podido "juntar" y nunca hubiese habido galaxias, estrellas o planetas... en definitiva ¡nuestro mundo!.

Jacob Sierra Díaz y Altair

Sección de Ciencias del Universo