Infografía - El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras ofrece una importante y bella relación entre los lados de cualquier triángulo rectángulo. Sin lugar a dudas, se trata de un teorema de gran relevancia ya que permite resolver muchas situaciones de la vida diaria. 

Jacob Sierra Díaz y Altair

SOLUCIONARIO. Prueba práctica (alfa)

Si estás aquí es porque has realizado la prueba práctica (alfa) de la calculadora y quieres conocer las soluciones y los procedimientos para alcanzar la respuesta. Si no es así, haz clic en el siguiente botón para acceder a la prueba. 

La prueba está dividida en varias series y veremos cada solución por serie

(1) La primera serie es aritmética básica. Simplemente hay que recordar que la mayoría de calculadoras básicas no son jerárquicas y que habrá que ordenar las operaciones según la pirámide de prioridad de las operaciones, como se ve en la tercera actividad.

(2) La segunda serie son series numéricas. Para saber cuánto se suma en cada una, restaremos el segundo número de la serie al primero. A continuación, sabiendo el número, sumaremos dicho número entre sí tantas veces queramos.

(3) La tercera serie está dedicada a las potencias y raíces cuadradas. Se debe tener en cuenta que las raíces cuadradas se suelen poner una vez se haya introducido el número en cuestión.

(4) En la cuarta serie se han planteado porcentajes. Con la tecla % no deberá suponer gran problema el cálculo de porcentajes. Sin embargo, ten en cuenta la lógica que usa tu calculadora (lógica aritmética o lógica CASIO) de cara a las dos actividades finales, ya que el símbolo de la resta se deberá poner, para la lógica CASIO, después de pulsar la tela %. Para esta respuesta se ha usado una calculadora básica con lógica aritmética.

Para más información sobre los porcentajes de descuentos en las calculadoras básicas, haz clic en el siguiente enlace:

Descentos (%) en la calculadora [Clic para acceder]

(5) En la serie final deberemos resolver los ejercicios con las teclas de memoria.

Y este es el final de la prueba. Una prueba que pondrá a prueba tu capacidad para usar una calculadora básica de oficina y que te ha permitido poner en práctica funciones que seguramente nunca habías conocido que existían.

Jacob Sierra Díaz y Altair

Prueba práctica (alfa) con la calculadora básica

A continuación, tienes cinco series de actividades de distinta naturaleza para poner a prueba tu capacidad para usar una calculadora básica. Para realizar esta prueba dispones de un cuarto de hora, tiempo suficiente para resolver con éxito todas las partes.   Antes de empezar, lee las siguientes instrucciones:

• Para esta prueba necesitarás una calculadora básica de oficina. No importa el modelo. Debe tener una pantalla con una sola línea. No uses una calculadora científica. Puedes usar la calculadora de tu teléfono móvil (siempre y cuando no esté en modo calculadora científica).

• Es aconsejable que tengas un papel y un bolígrafo para ir apuntando los resultados y verificar posteriormente la respuesta. También puedes hacer clic en el siguiente enlace para acceder a un pdf con la prueba. Para una mayor comodidad, la puedes imprimir y hacer la prueba ahí.

Acceso a descarga de la plantilla de la prueba (BOX - PDF)

• La puntuación máxima de cada una de las series de pruebas es de dos puntos. Al acabar tu prueba podrás acceder al final de esta entrada al solucionario de la misma donde aparecerá la puntuación de cada pregunta.

Buena suerte. Da comienzo la prueba; el tiempo acaba de comenzar.

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(1) En esta primera serie deberás dar la respuesta correcta a las siguientes operaciones aritméticas. No olvides que las mayorías de calculadoras básicas no son jerárquicas y no respetan el orden correcto de las operaciones.

(2) En esta segunda serie deberás completar la serie numérica con los siguientes diez números.

(3) Esta serie está dedicada a las potencias y raíces cuadradas. Ten en cuenta que la forma en la que pedimos a la calculadora que nos calcule estas operaciones es distinta a la manera en la que las vemos en la pantalla o en el papel.

(4) En esta serie deberás resolver los siguientes tres problemas de porcentajes.

(5) En la serie final deberás hacer uso de las teclas de memoria de la calculadora (M+ o M- y MRC) para encontrar la solución de estas operaciones complejas. Ten en cuenta que aquí no podrás apuntarte en el papel o tratar de memorizar la solución parcial de la operación.

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Una vez que hayas finalizado la prueba y tengas tus respuestas en una hoja de papel (o en la plantilla que has descargado e impreso) haz clic en el siguiente botón para acceder a la solución de la prueba y al procedimiento de la misma.

Jacob Sierra Díaz y Altair

La memoria (M) de la calculadora

Todas las calculadoras incluyen una función de memoria (M) que es bastante práctica para, principalmente, recordar algún número que será usado en cálculos posteriores. Hoy vamos a ver en qué consiste esta función principal y los distintos botones que tiene la calculadora para utilizar la memoria de una manera sencilla.

Concepto de memoria 

Antes de comenzar a explicar la función de las teclas de memoria M+, M- y MRC; vamos a entender la lógica básica que hay detrás de este proceso de memorización.

La memoria es una celda de almacenamiento libre que la calculadora tiene para guardar cualquier valor que se le solicite. Esta función es bastante útil cuando se deseen hacer distintas operaciones aritméticas con el mismo número (por ejemplo, una tasa impositiva o un número grande).

• Tal y como se muestra en la siguiente ilustración, para guardar cualquier número pulsaremos sobre la tecla de memoria, que suele venir expresada como M, una vez introducido el número. A continuación, la calculadora mostrará en su pantalla un aviso (normalmente la letra M o MEMORY) para indicar que dicho número ha sido guardado. Entonces, cuando queramos hacer cualquier operación con el número guardado, bastará con pulsar la tecla MC (Memory Recall; Recordar Memoria) para que nos muestre el número que estaba guardando y así poder hacer la operación.

• Imaginemos la siguiente situación absurda. Se desea calcular independientemente las siguientes sumas y restas: 72 + 5, 44 - 16 y 72 - 66. En este caso, como no queremos volver a pulsar el número 72 dos veces, usaremos la función de memoria. (I) Escribimos el número 72; (II) pulsamos sobre la tecla de memoria M (o M+, en la mayoría de modelos), en este momento la calculadora ha guardado este número y nos mostrará un aviso en la pantalla (normalmente una M en la parte superior); (III) calculamos la primera operación, para ello pulsaremos las teclas +, 5 e =; (IV) a continuación, hacemos la operación 44 - 16; (V) ahora, con la última operación debemos invocar al 72 que hemos guardado en la calculadora, para ello pulsaremos la tecla MR (Memory Recall; en muchos modelos de calculadora es la tecla MRC) y veremos que en la pantalla nos muestra el valor guardado; (VI) ahora pulsaremos las teclas -, 6, 6 e =. Con este procedimiento hemos usado la tecla de memoria para evitarnos volver a escribir un número, en este caso pequeño.

Teclas M+, M- y MRC

Una vez comprendido el concepto de memoria, vamos a ver las teclas más habituales para trabajar con las memorias en la calculadora. Pero antes de continuar conviene conocer un pequeño secreto. Las memorias de las calculadoras nunca están vacías. Es decir, no hay un valor nulo o vacío en ellas. Realmente, cuando la calculadora no está guardando ningún número en la memoria, tiene el número 0. Entonces, cuando reseteamos la calculadora, esta colocará un 0 en la memoria para "vaciarla". Por ese motivo, cuando guardamos algún valor en la memoria, la máquina suma el valor guardado al que había antes y si había un 0, guardará el valor que hayamos introducido. Otro concepto importante a la hora de hablar de memorias en las calculadoras básicas de oficina será que esta solo tienen una memoria. Es decir, no es posible guardar varios números distintos a la vez. De hecho, lo único que se puede hacer para guardar varios números sería sumarlos o restarlos al valor de la memoria que ya tenía anteriormente.

Vamos a comenzar hablando de los botones M+ y M-. La mayoría de calculadoras tienen estos dos botones que funcionan como entrada de valores a la memoria. Pero, ¿cuál es la diferencia? Principalmente, el botón M+ añade (suma) el valor que hayamos indicado a la memoria y el botón M- resta el valor que hayamos indicado a la memoria. Entonces, cuando queremos guardar, supongamos un 5 a la memoria vacía, pulsaremos sobre la tecla M+ y esta hará una suma de 0 + 5 para guardar el 5 a la misma. Si ahora quisiésemos guardar, siguiendo con este ejemplo, la diferencia de 5 - 3 tendríamos que pulsar sobre la tecla 3 y sobre la tecla M-. Esto hace que la calculadora guarde el número 2, ya que es la resta 5 - 3.

Otro botón muy cercano a las teclas M+ y M- es MRC (Memory Recall / Memory Clear; Recordar Memoria / Limpiar Memoria). En algunos modelos este botón se convierte en dos teclas independientes: la MR (Memory Recall) y la MC (Memory Clear). ¿Para qué se usan? Como ya hemos visto, la tecla MR sirve para mostrar el valor guardado en la memoria y la tecla MC sirve para vaciar o borrar la memoria (esta tecla en realidad pone un 0 en la memoria). En las calculadoras en la que las teclas MR y MC son una (tecla MRC) la primera pulsación (corresponde con MR) lanza el valor guardado en la memoria y la segunda pulsación (corresponde con MC) borra la memoria.

Jacob Sierra Díaz y Altair

Rebosamiento en la calculadora

No es ningún secreto que cualquier tipo de calculadora tenga unos límites de cálculos. Estos límites vienen definidos principalmente por su capacidad aritmética y por los dígitos que muestre en pantalla. Por ejemplo, para una calculadora de 8 dígitos en pantalla (como la que se muestra en la siguiente imagen) no podremos realizar cálculos mayores al rango ±99999999.

Cuando solicitamos a la calculadora un cálculo mayor al que esta pueda realizar, estamos ante un problema de desbordamiento o rebosamiento. Básicamente le estamos pidiendo hacer algo que no puede calcular. 

Si, al realizar una operación básica (como puede ser 999999999+1) nos aparece el símbolo del error (ERROR o E), se debe a que el total acumulado excede la capacidad de la máquina. Para salir de este error, se deberá pulsar la tecla CE, C o AC.

Obviamente, las calculadoras científicas ofrecen un mayor rango de cálculos mucho más avanzados que las calculadoras básicas, aunque estas también posean unos límites (seguramente establecidos en ±99999999⁹⁹).

Jacob Sierra Díaz y Altair 

Descuentos (%) en la calculadora

Todas las calculadoras básicas incluye un botón de porcentaje (%). Este botón es útil para cuando tengamos que realizar operaciones con porcentajes, normalmente orientados con aspectos económicos tales como los descuentos. Precisamente hoy vamos a descubrir cómo calcular porcentajes de descuentos con nuestra calculadora a través de la tecla del tanto por ciento o porcentaje (%). Sin embargo, antes de comenzar conviene recalcar que el porcentaje en las calculadoras básicas de oficina debe venir acompañada de alguna operación básica (suma, resta, multiplicación o división) ya que, a diferencia del cálculo real, si ponemos un número y pulsamos la tecla % no hará nada la calculadora (o nos ofrecerá un 0, dependiendo el modelo). A esto hay que sumarle que dependerá del modelo de calculadora, empleará una lógica u otra para el cálculo completo del descuento sobre el precio original.

La mejor forma para conocer la utilidad de esta tecla de tanto por ciento o porcentaje (%) en la calculadora es mediante un ejemplo práctico. Imagina que vas a la sección de tecnologías de unas grandes superficies para comprar un televisor. Ves dos modelos de televisión que te gustan y que valen 312€ y 400€, respectivamente. El televisor más barato tiene un 20% de descuento sobre el precio original y el televisor más caro tiene un 30% de descuento (sobre el precio original). ¿Cuánto hay que pagar por cada televisor con el descuento aplicado?

• Para resolver este sencillo problema tenemos que hacer, en primer lugar, el 20% de 312€. Esto se puede obtener automáticamente en la calculadora tecleando 312 x 20%. El resultado que se mostrará en pantalla será de 62,4€. Esto quiere decir que el 20% de 312€ es 62,4€; lo que significa que nos quitarán 62,4€ al precio original. Entonces, lo que pagamos por el primer plasma es (312€ - 62,4€) 249,60€. Este es el método universal que podemos usar independientemente de cualquier modelo.

• Para el primer televisor hemos visto una forma de hacer el tanto por ciento de una cantidad y luego hemos restado esa cantidad al precio total. Esto lo podemos hacer directamente en la calculadora de una manera muy sencilla sin necesidad de hacer dos operaciones. Para saber cuánto tenemos que pagar por el segundo televisor que cuesta originalmente 400€ y que tiene un descuento del 30% podemos teclear en nuestra calculadora 400 - 30%, dando como resultado el precio final de 280€. Este procedimiento es lo que conocemos como lógica aritmética y normalmente está estandarizado para todas las calculadoras básicas de marca blanca.

• SOLUCIÓN. Por el primer televisor (20% de descuento al precio original de 312€) hay que pagar 249,60€ y por el segundo televisor (30% de descuento al precio original de 400€) hay que pagar 280€. Suponiendo que las características del segundo televisor son mejores que las del primero (por la diferencia de precios originales), habría que considerar esta compra.

En efecto, con la calculadora tenemos varios procedimientos (igual de válidos) para llegar a la solución del problema. Sin embargo, si queremos obtener en un solo procedimiento el precio final deberemos tener en cuenta la lógica en la que trabaja nuestra calculadora. La mayoría de calculadoras básicas (a excepción de los modelos CASIO) permiten calcular el precio final de una manera elemental bajo la denominada lógica aritmética. Tal y como vemos en la siguiente ilustración, con la lógica aritmética  obtendremos el descuento tecleando el precio original del producto, la tecla menos (al tratarse de un descuento) y el porcentaje de descuento (número y %). Aquí no es necesario pulsar la tecla igual (=), ya que automáticamente al presionar la tecla % nos lanza el resultado.

Sin embargo, no todas las calculadoras obtienen el resultado de esta forma. En concreto, los modelos CASIO de calculadoras básicas lo obtienen mediante un procedimiento distinto que podríamos denominar lógica CASIO. A diferencia de la lógica aritmética, necesitaremos introducir el precio original, seguido del porcentaje (número y %), seguido del la tecla -, tal y como se muestra en la siguiente ilustración. Por lo tanto, si tu modelo de calculadora básica es marca CASIO o usas un modelo que ha copiado esta lógica, para obtener el descuento de una manera sencilla, deberás hacer este procedimiento.

Finalmente, conviene destacar el procedimiento que deberemos seguir en calculadoras científicas. Independientemente del modelo, este tipo de calculadoras tienen establecida la jerarquía de las operaciones por lo que el procedimiento será diferente a los que acabamos de ver. En concreto, deberemos escribir el procedimiento completo de manera matemática para que nos calcule correctamente el tanto por ciento de un precio y lo reste a dicho precio original a través de la fórmula Precio original - (Precio original x Descuento%) =, tal y como se muestra en la siguiente ilustración.

En definitiva, si bien el cálculo de los descuentos con porcentajes es una tarea muy sencilla con la calculadora, deberemos conocer la lógica de la nuestra para poder realizarlos de una manera más práctica y así evitar tener que hacerlo en los dos pasos que hemos explicado en el primer punto del ejemplo práctico (que consiste en obtener el valor primero y luego realizar la resta).

Jacob Sierra Díaz y Altair

Tecla de raíz cuadrada en la calculadora

En algunos modelos de calculadoras básicas podemos encontrar una tecla que corresponde con la operación de raíz cuadrada (√). Normalmente se encuentra muy cerca de las teclas de las operaciones básicas (+, -, x y ÷). Sin embargo, dependiendo del modelo de calculadora, deberemos invocar esta operación de una manera distinta a cómo la escribimos en el papel. 

En los modelos actuales de calculadoras científicas, es habitual obtener una raíz cuadrada pulsando (primero) sobre el símbolo de la operación (√), (segundo) escribiendo el número y (tercero) pulsando sobre la tecla igual (=). No obstante, en las calculadoras básicas no científicas el procedimiento puede ser distinto; y se resume en que el operador (√) debe ir después del número.

Si el fabricante no menciona lo contrario, para hacer una raíz cuadrada con la calculadora básica deberemos:

• Teclear el número con el que vamos a obtener la raíz cuadrada.

• Pulsar sobre el botón de raíz cuadrada (√).

• No es necesario pulsar el igual. Automáticamente se mostrará el resultado.

A continuación, se muestra el ejemplo práctico de cómo obtener la raíz cuadrada de 36 y de 112 en una calculadora básica:

Por supuesto, para calcular una raíz con un índice superior a 2 deberemos usar una calculadora científica, ya que con una básica solo podremos obtener raíces cuadradas.

Jacob Sierra Díaz y Altair