Solución al nudo enmarañado II

El segundo nudo que nos propone Lewis Carroll son en realidad dos desafíos distintos. El primero de ellos tiene que ver con el número de invitados de la fiesta del gobernador de Kgovjni y el segundo con un problema de distancias. Tal y como siempre hacemos, si quieres conocer la solución final del problema, ve a la parte final de esta entrada. Si por el contrario, necesitas un pequeño empujón para encontrar la solución, lee desde aquí cada uno de los niveles hasta que puedas seguir solo.

Primer desafío: invitados a la fiesta

Vamos a comenzar con el primer desafío: los invitados al banquete del gobernador. Para resolver este enigma, te aconsejamos que uses un folio y un bolígrafo para elaborar el árbol genealógico que menciona en el enunciado. Aquí debemos empezar por la frase que nos resulte más fácil de descifrar.

Puesto que estamos hablando de un enigma elaborado en el siglo XX, vamos a suponer que solo existía una configuración familiar: parejas de distinto sexo (un marido y una mujer).

Nivel I - Padre de su cuñado

Padre de su cuñado - Como ya es bien sabido, el cuñado es el cónyuge de mi hermana. Como es "cuñado", asumimos que el gobernador tiene una hermana. Entonces, poniéndonoslos en la piel del gobernador, con esta frase nos referimos al padre de la pareja de mi hermana.

Nivel II - Suegro de su hermano

Suegro de su hermano - Esta frase significa, padre de la mujer de mi hermano. Con esta frase, sabemos que el gobernador también tiene otro hermano. Sabemos que su pareja es una mujer porque dice "hermano". Los suegros son los padres del cónyuge. Con esto, podemos ampliar el árbol genealógico.

Con las dos frases que hemos analizado, puedo concluir que el gobernador tiene una linda hermana (Ha) y un hermoso hermano (Ho). Llegados a este punto vamos a hacer una suposición (ya que el gobernador querrá invitar a cuanto menos gente posible para que el banquete le salga más barato): supongamos que Ha' y Ho' (las parejas de los hermanos del gobernador) sean a su vez hermanos. Si esto fuese así, Ph sería la misma persona, sería el padre de Ha' y de Ho'.

Nivel III - Hermano del suegro

Hermano del suegro - Al suponer un número bajos de invitados, convendría que Ph sea el hermano del suegro. Esto se puede resolver si el gobernador (G) tuviera una mujer (G'), que tiene que ser la prima de la pareja de los hermanos del gobernador. Entonces, la mujer del gobernador será sobrina de Ph o Ph será el tío del gobernador (G).

Si hay un tío es que hay un hermano: Ph tiene un hermano (T) que tuvo una hija que se casó con el gobernador (G'). Entonces, el hermano del suegro se refiere a Ph, tal y como podemos ver en el siguiente esquema.

Nivel IV - Cuñado de su padre

Cuñado de su padre - El cuñado es el hermano de la madre del gobernador. En este caso, el cuñado es Ph siempre y cuando la madre del gobernador sea hermana de Ph. Entonces, nos damos cuenta que hay tres hermanos: B, P y M. Ahora, M es la madre del gobernador y P es su padre, y entonces, para Ph es el cuñado, ya que M y P son pareja.

Verificación

Ante el mapa genealógico que hemos hecho, solo nos falta comprobar las frases que hemos realizado.

Solución final

El gobernador solo ha invitado a una persona. En el caso de los gráficos genealógicos que hemos realizado corresponde con Ph. Ph es el padre de las parejas de los hermanos del gobernador y es el cuñado del padre del gobernador.

Segundo desafío: distancia de la plaza

La pregunta de este enigma es sencilla: ¿desde cuál de las cuatro puertas con los números 9, 25, 52 y 73 es menor la suma de las distancias a recorrer? En primer lugar, designaremos por letras los números del problema: A para la puerta número 9, B para la puerta 25, C para la 52 y D para la 73. Sabemos, además, que la plaza es un cuadrado y que en cada lado tenemos 20 puertas, que a su vez dividen cada lado en 21 partes iguales.

Nivel I - Diseño gráfico del problema

Vamos a reproducir la plaza con un cuadrado de 21 x 21. En el cuadrado, cada segmento del cuadrante equivaldrá a una puerta. Empezando por el lado superior izquierdo podremos saber la ubicación exacta de los números 9, 25, 52 y 73.

Nivel II - Distancias de cada lado

Con el gráfico, ya nos resultará fácil contar las distancias de cada lado. Así, tal y como vemos en al siguiente ilustración: del principio a la puerta A hay 9 movimientos, de la puerta A hasta el final del primer lado hay 12 movimientos; del principio del segundo lado hasta la puerta B hay 5 movimientos, de la puerta B hasta el final del segundo lado hay 16 movimientos; del principio del tercer lado hasta la puerta C hay 12 movimientos, de la puerta C hasta el final del lado hay 9 movimientos; del principio del cuarto lado hasta la puerta D hay 13 movimientos y de la puerta D hasta el final del lado hay 8 movimientos.

Nivel III - Cálculo de distancias entre puertas

Para calcular la distancia entre dos puertas vamos a elevar al cuadrado los movimientos que necesitamos en los dos lados en los que se encuentran las puertas y, a continuación, hacemos la raíz cuadrada de dicha suma: 

Por ejemplo, para calcular la distancia entre la puerta A y la puerta B (AB), aplicaremos la fórmula anterior:

Esto lo repetiremos con el resto de puertas: desde la puerta A hasta la puerta C (AC), desde la puerta A hasta la D (AD), desde la B hasta la C (BC), desde la B hasta la D (BD) y desde la C hasta la D (CD). Estas distancias se aplicarían también a la inversa. Por ejemplo, la distancia desde la puerta C hasta la A (CA) es la misma que desde A hasta C.

A continuación, tendremos que sumar las distancias y ver cual es la menor.

• Desde A: 13 (distancia con puerta B) + 21 (dist. puerta C) + 12,04 (puerta D) = 46,04 

• Desde B: 13 (distancia con puerta A) + 20 (dist. puerta C) + 21,21 (puerta D) = 54,21

• Desde C: 21 (puerta A) + 20 (puerta B) + 21,25 (puerta D) = 56,81

• Desde D: 12,04 (puerta A) + 21,21 (puerta B) + 15,81 (puerta C) = 49,06

Solución final

Entonces, desde la puerta A (puerta número 9), la suma de las distancias es menor (esto es 46,04). Para Balbus y sus muchachos, la sala común estará en la casa número 9.

Haciendo clic sobre la siguiente imagen podrás volver al segundo cuento de estos enigmas clásicos.

Jacob Sierra Díaz

Nudo enmarañado II - Pisos para alquilar

Lewis Carroll publicó varios enigmas y rompecabezas matemáticos, que denominó nudos [knot en inglés], en la revista de estilo de vida The Monthly Packet desde 1880 hasta 1885. A finales de ese mismo año, se publicó en formato libro cada uno de los nudos acompañados de sus respectivas soluciones y la lista de personas que habían enviado sus respuestas correctas a la revista. Aunque aparentemente, los nudos no tienen relación entre sí, haz clic en el siguiente enlace para acceder al Nudo I:

Nudo enmarañado I - Excelsior

Puedes encontrar los nudos en castellano en el libro Matemática Demente (2017).

Nudo II - Pisos para alquilar

Todo seguido por el camino oblicuo, luego dar la vuelta a la plaza

- Preguntémosle a Balbus si sabe algo de esto –dijo Hugh.

- Me parece bien –respondió Lambert.

- Él puede dar con la solución –dijo Hugh.

- En efecto – apostilló Lambert.

No se necesitaron más palabras: los dos hermanos se habían comprendido perfectamente. Balbus les estaba esperando en el hotel: estaba cansado de la larga jornada, dijo. Entonces, sus dos discípulos habían estado recorriendo el lugar en busca de alojamiento, sin su anciano mentor, quien había sido su inseparable compañero desde la infancia. Le habían sacado su nombre de un libro de ejercicios de latín, que rebosaba de anécdotas sobre este polifacético héroe, anécdotas que veían compensada la vaguedad de sus detalles por una brillantez sensacional. En el margen del libro Coraje recompensado, su tutor anotó en el márgen "Balbus ha derrotado a todos sus enemigos". De este modo, trataba de extraer la moraleja de cada una de las aventuras de Balbus. En otro lugar del libro, se podía leer advertencias como "Temeridad en la especulación" al lado de la oración "Balbus se apropia de un dragón sano"; otras veces tomaba forma de ánimo, como en la frase "Importancia de la solidaridad en las acciones que acometemos juntos", escrita al margen de del capítulo "Balbus ayuda a su suegra a convencer al dragón". 

En otras ocasiones, la enseñanza se condensaba en una sola palabra, como "Prudencia", que era cuanto podía deducirse del conmovedor apunte "Balbus se marchó después de chamuscar la cola del dragón". De hecho, a sus alumnos les gustaba estas sentencias cortas, ya que les dejaba más campo para ilustrarlas en sus cabezas. En este último caso, necesitaban todo el espacio posible para dar cuenta de la rapidez con la que partió el héroe.

Las nuevas que traían eran descorazonadoras. Little Mendip, el balneario más elegante, estaba lleno "hasta los topes" (como dijeron los chicos), desde el primero hasta el más oscuro rincón. Sin embargo, en una plaza habían visto no menos de cuatro carteles, en casas diferentes, anunciando con llamativas letras mayúsculas: PISOS PARA ALQUILAR.

- Así que, como ves, tenemos para elegir, después de todo –dijo Hugh como portavoz de la pareja, concluyendo.

- Nos faltan los detalles –dijo Balbus, al tiempo que se levantaba de un sillón en el que había estado dormido sobre las páginas de la Little Mendip Gazette–. Pueden ser habitaciones para una sola persona. Pero lo mejor será que vayamos a verlas. Así estiro un poco las piernas.

Un observador sin prejuicios podría haber objetado que semejante operación era completamente inútil y que aquella criatura extraña, larga y flaca podría haberse contentado con tener unas piernas más cortas. Pero a sus alumnos no se les pasó por la imaginación nada por el estilo. Uno a cada lado, hicieron cuanto pudieron para seguir sus enormes zancadas, mientras Hugh repetía una frase de la arta de su padre, que acababa de recibir del extranjero, y que Lambert y él habían estado tratando de descifrar.

- Dice que un amigo suyo, el gobernador de... ¿cómo era el nombre, Lambert?, repítemelo –Kgovjni, dijo Lambert al segundo–. Oh, sí. El gobernador de como-diablos-se-llame quiere dar una pequeña fiesta, y que pesaba preguntar al cuñado de su padre, al suegro de su hermano, al hermano de su suegro y al padre de su cuñado. Y nosotros tenemos que adivinar cuántos invitados habrá.

Hubo una pausa expectante.

- ¿Cómo de grande dijo que sería el pudín? –dijo Balbus por fin–. Hay que tomar volumen cúbico, dividirlo por el volumen cúbico de lo que cada individuo podrá comer y el cociente...

- No dijo nada sobre el pudín –le respondió Hugh– y aquí está la plaza –mientras daban la vuelta a una esquina y aparecían ante sus ojos los carteles de PISOS PARA ALQUILAR.

- ¡Es realmente una plaza! –fue el primer grito de placer de Balbus, mientras miraba a su alrededor–. ¡Hermosa! ¡Espectacular! ¡Equilátera! ¡Y rectangular!

Los muchachos contemplaron el panorama con menos entusiasmo.

- El primer anuncio está en el número 9 –dijo prosaicamente Lambert; pero Balbus aún no había despertado de su sueño de belleza. 

- ¡Mirad, muchachos! –gritó–. ¡Veinte puertas a cada lado de la plaza! ¡Qué simetría! ¡Cada uno dividido en veintiuna partes iguales! ¿No os resulta delicioso?

- ¿Llamo a la puerta o toco el timbre? –dijo Hugh, contemplando con cierta perplejidad una chapa cuadrada de latón que decía: Llame también al timbre.

- Ambas cosas –dijo Balbus–. Es una elipsis, mi niño. ¿No habías visto nunca una "elipsis"?

- Me costaba trabajo leerlo –le contestó Hugh evasivo–. No está bien que tengamos una "elipsis", si no la conservan limpia.

- Tenemos solo una habitación, señores –dijo sonriente la casera–. ¡Una habitación muy dulce, por cierto! Una pequeña y cómoda habitación trasera.

- Veámosla –dijo oscuramente Balbus, mientras los tres la seguían al interior de la casa–. ¡Sabía que sería así! ¡Una habitación de cada casa! No hay vistas a la calle, me imagino.

- ¡Ya lo creo que las hay, señor! –protestó la casera indignada, mientras retiraba los visillos y señalaba hacia el jardín trasero.

- Coles, por lo visto –dijo el sabio de Balbus–. Bien, de todos modos son verduras. 

- No tiene nada que ver con la verdura de las tiendas –explicó la casera–, como usted sabe, tan poco de fiar. Aquí las tiene usted en su estado original, que como ve es de lo mejor.

- ¿Puede abrirse la ventana? –era siempre la primera pregunta de Balbus cuando examinaba una habitación, y– ¿echa humo la chimenea? –la segunda.

Cuando estuvo completamente satisfecho, rechazó educadamente la habitación, y de allí pasaron al número 25. Esta vez la casera era mas bien seria y torva.

- No me queda más que una habitación –les informó–, y da al jardín trasero.

- Pero, ¿habrá coles, no? –sugirió Balbus.

La casera se enterneció visiblemente.

- Sí que hay, señores –dijo–, y muy buenas, aunque no debiera decirlo yo. No podemos confiar en la verdura de las tiendas. Tenemos que cultivarla nosotros mismos.

- Con gran provecho –dijo Balbus; y después de las preguntas de costumbre, pasaron al número 52.

- Yo con gusto les acomodaría, si pudiera –fue el saludo con el que se toparon del casero del 52.

- No somos más que pobres mortales –murmuró Balbus– "¡fuera de lugar!".

- He alquilado todas mis habitaciones excepto una –contestó el casero.

- Un habitación trasera, me imagino –dijo Balbus–, desde la que se contempla un paisaje majestuoso de coles, supongo.

- En efecto, señor –le contestó el casero–. La gente puede hacer lo que quiera, pero nosotros preferimos cultivarlas por nosotros mismos porque en las tiendas...

- Una excelente providencia –lo interrumpió Balbus–. Así, uno puede realmente confiar en els, asegurándose de una buena calidad. ¿Puede abrirse la ventana?

Las preguntas de rigor fueron contestadas satisfactoriamente; solo que esta vez Hugh añadió una de su cosecha :

- ¿Araña el gato? –preguntó Balbus.

El casero miró a su alrededor desconfiadamente, como para asegurarse de que el gato no lo estuviera oyendo.

- No le decepcionará, señor –respondió–. Araña, en efecto, pero si usted no le tira de los bigotes nunca lo hará –repitiendo lentamente y esforzándose a todas luces por recordar los términos exactos de algún tipo de pacto secreto y oscuro firmado entre él y el gato–, ¡si no le tira de los bigotes!

- Mucho podemos perdonar a un gato tan cortés –concluyó Balbus, mientras abandonaba la casa y cruzaba al número 73, dejando al casero haciendo gestos en el portal y preservando en la repetición de un oscuro pacto, como si fuera una forma de despedida, "¡no si no le tira de los bigotes!".

Pues bien, en el número 73 encontraron tan solo a una joven y tímida muchacha para enseñarles la casa, que exclusivamente contestaba "Sí, hmm..." a todas las preguntas.

- La habitación de costumbre –dijo Balbus, mientras avanzaban–, el jardín trasero usual, las coles de costumbre. Me imagino que no podrá encontrarlas de la misma calidad en las tiendas.

- Sí, hmm... –contestó la joven, mientras les mostraba la salida.

- Perfecto, dígale a la señora que cogeremos la habitación, ¡y que esta idea de cultivar sus propias coles es sencillamente admirable!

- Sí, hmm... –dijo la chica.

- Un cuarto de estar y tres dormitorios –dijo Balbus mientras volvían al hotel–. Haremos una sala de estar de aquéllas que nos cueste menos tiempo entrar en ella. 

- ¿Iremos de puerta en puerta, contando los pasos? –dijo sorprendido Lambert.

- ¡No, no! Hallémoslo por cálculo, muchachos, hallémoslo por cálculo –exclamó Balbus alegremente, mientras cogía pluma, tinta y papel ante sus desventurados discípulos, y dejaba  habitación.

- ¡Lo dije! ¡Será como un trabajo! –dijo Hugh.

- Enorme –aseguró Lambert.

Enigmas resumidos

En este nudo nos encontramos con dos enigmas:

• El gobernador de Kgovjni quiere dar un pequeño banquete e invita al cuñado de su padre, al suegro de su hermano, al hermano de su suegro y al padre de su cuñado. ¿Cuántos invitados habrá en la fiesta?. 

• Una plaza de un pueblo tiene veinte puertas en cada uno de los lados, que la dividen en veintiuna partes iguales. Están todas las puertas numeradas, comenzando por una de las esquinas (por orden ascendente). ¿En cuál de los cuatro lados será menor la suma de las distancias a recorrer, desde la puerta 9 a la 25, a la 52 y a la 73?

¡Buena suerte, caballero!

Solución por pasos

Hágase clic en la siguiente imagen solo en caso de verificación y cuando tengas dos propuestas de solución a los enigmas:

Recurso

• Carroll, L. (2021). Matemática demente. Austral.

Lewis Carroll y Leopoldo María Panero  

Solución al nudo enmarañado I - Excelsior

Si ya has resuelto el primer nudo que nos proponía Lewis Carroll y quieres saber a solución final, ve a la parte final de esta entrada. Si tu respuesta es correcta: ¡enhorabuena! Ahora, te animamos a que repases nuestros pasos para llegar a la solución final y comprobar si coinciden con los tuyos.

Si por el contrario, no tienes una respuesta pero necesitas un pequeño empujón para su resolución, lee esta entrada desde el principio, ya que veremos por niveles, pasos o pistas cómo llegar a la solución final.

• Te recomendamos que tengas a mano una hoja de papel con un lapicero y que comprendas el nivel en el que estás antes de pasar al siguiente. Si tienes alguna duda, no dudes en dejar un comentario.

Nivel I - Identificar datos del enigma

Para empezar, vamos a realizar un dibujo del problema. Tenemos dos caballeros que están haciendo un trayecto por los siguientes lugares: camino llano, subida a una colina, bajada a una colina y camino llano. En el enunciado del problema podemos extraer la velocidad que llevaban en cada uno de los trayectos y que reflejamos en nuestro dibujo.

Sabiendo la hora de salida [15:00] y la hora estimada de llegada [21:00], con una simple resta podemos saber que la duración del paseo de los caballeros es de 6 horas [21:00 - 15:00 = 6 horas].

Una vez expuesto los datos del problema, vamos a centrarnos en lo que nos piden: hallar la distancia recorrida y la hora en la que alcanzaron la cumbre. En nuestro dibujo, no sabemos la distancia del camino llano. Llamaremos x a esa distancia. Además, tampoco sabemos la distancia de la colina. Designaremos con y a la distancia de la colina (en subida), tal y como se muestra en nuestro siguiente dibujo.

Nivel II - Convertir la velocidad a distancia

Si tomamos el dato del camino llano, 4 km/h, indica que en una hipotética 1 hora haremos 4 kilómetros. Lo mismo pasa con los tramos de la colina. Con una sencilla regla de tres podremos obtener el tiempo que tardamos (a 4 km/h, 3 km/h y 6 km/h) en hacer un solo kilómetro.

Fíjate. En el trayecto x (camino llano, solo ida) un kilómetro se hace en un cuarto de hora. Como los caballeros tienen que volver sobre sus propios pasos, la ida y la vuelta del kilómetro (eso hacen dos kilómetros) se hará en media hora.

Con lo que hemos calculado en la regla de tres de los trayectos (camino llano y subida y bajada de la colina) podremos saber el tiempo de duración en dicho trayecto. Con el fin de que se entienda la idea vamos a poner un ejemplo hipotético: supongamos que los caballeros han recorrido 10 kilómetros en el camino llano; entonces el tiempo que les ha llevado a recorrerlo, sabiendo que van a 4 km/h, es de 10/4 -simplificado a 5/2-. Esto es así porque 10 · 1/4 = 10/4 y 10/4 = 5/2.

Nivel III - Confeccionar la fórmula con dos incógnitas

Pero está claro que lo que no sabemos es la distancia de los trayectos. En este momento, tenemos que aplicar las incógnitas x e y a la fórmula de todo el paseo. El paseo se compone de la distancia por el camino llano, la distancia en la subida de la colina, (a partir de aquí es el camino de regreso del paseo) la distancia de la bajada de la colina y la distancia del camino llano.

Nivel IV - Calcular la fórmula

Calcular esta fórmula es sencillo.

 
Nivel V - Tener en cuenta el camino de vuelta y calcular el tiempo

Recuerda que x era la distancia (solo de ida) en el camino llano e y era la distancia en la subida de la colina. Como los caballeros volvieron sobre sus pasos, debemos multiplicar 12 por 2 [12 · 2 = 24 kilómetros]. 

Ahora debemos calcular el tiempo. La distancia x e y la hacen en tres horas (tres de ida y tres de vuelta). Como tienen que ir y volver, 3 horas de ida más 3 horas de vuelta, tenemos como resultado las 6 horas de duración. Por lo tanto, 3 horas y media (media hora de margen de duda que nos ofrece el problema) debió ser el tiempo que emplearon los caballeros en llegar a la cumbre. Entonces, alcanzaron la cumbre, la mitad del camino, a las 18:30 aproximadamente. A partir de esa hora, comenzaron el camino de regreso.

Redacción de la solución

El paseo de los caballeros fue de 24 kilómetros, que realizaron en seis horas. A la mitad del paseo, en la cima de la colina eran las 18:30 aproximadamente (con un margen de error de media hora).

Puedes volver al enunciado de este enigma haciendo clic sobre la siguiente imagen:

Jacob Sierra Díaz

Nudo enmarañado I - Excelsior

A tangled tale fue una colección de diez historietas publicadas entre abril de 1880 y marzo de 1885 en la revista The Monthly Packet escritas por Lewis Carroll. Cada una de las historietas recibió el sustantivo de nudo [knot en inglés] y contenía una o dos cuestiones matemáticas que el lector tenía que resolver. En diciembre de 1885 los diez nudos se publican en formato libro bajo el mismo título. En castellano se tradujo como Un cuento enmarañado. En la edición se incluía la historieta original, un resumen del enigma, una solución al enigma y los comentarios de Lewis Carroll a las respuestas que recibió de los lectores de la revista. En la actualidad, el sello editorial Austral saca a la luz una excelente edición de varias de las obras matemáticas de Lewis Carroll en castellano bajo el título Matemática Demente (2017), incluyendo a este gran clásico.

Nudo I - Excelsior

Trasgo, condúcenos arriba y abajo

El rojizo resplandor del crepúsculo estaba cediendo ya su lugar a las sombras, cuando dos viajeros fueron observados descendiendo, con gran rapidez, a un paso de 6 kilómetros por hora, la arrugada ladera de una montaña; el más joven saltando de grieta en grieta con la agilidad de un gamo, mientras que su acompañante, cuyos ajados miembros parecían moverse a disgustos en la pesada coa de malla que acostumbraban a usar los turistas en esta zona, se afanaba dolorosamente a su lado.

Como ocurre siempre en semejantes circunstancias, fue el joven caballero el primero en romper el silencio:

- Un hermoso paso, me parece –exclamó–. No íbamos tan rápido en la subida.

- Veloz, por cierto –le respondió el otro, con un gruñido. Y sin embargo subimos a tan solo 3 kilómetros por hora.

- Y, en la llanura, que no es subida ni bajada, ¿nuestro paso es de...? –sugirió el más joven, porque era débil en estadísticas, y dejaba todos esos agrios detalles para su amarillento compañero.

- 4 kilómetros por hora –respondió el otro con una inmensa fatiga–. Ni una onza más, ni un cuarto de penique menos –apostilló, con el gusto por la metáfora tan propio de su edad.

- Eran las tres de la tarde cuando dejamos nuestra posada –dijo el hombre joven, meditabundo–, a duras penas lograremos estar de vuelta a la hora de la cena. ¡A lo peor nuestra posadera se niega rotundamente a darnos algo de comer!

- Refunfuñará si llegamos tarde –fue la grave respuesta del compañero–, a buen seguro solo merecemos su reprimenda.

- Un hermoso pensamiento –estalló el otro, con una alegre carcajada–. ¡Y si le pedimos que nos indique el camino para una nueva excursión, seguro que su faz se volverá agria!

- Sin embargo, hemos de hacer todo lo posible para obtener nuestros almuerzos –suspiró el caballero mayor, que en su vida había seguido una broma, y estaba algo molesto por la intempestiva veleidad de su compañero–. Serán las nueve aproximadamente –añadió en un susurro– cuando lleguemos a nuestra posada. ¡Cuántos kilómetros debemos haber fatigado hoy!

- ¿Cuántos? ¿Cuántos? –gritó el joven, siempre sediento de saber.

El anciano permaneció en silencio.

- Dime –contestó por fin, después de pensárselo–, ¿qué hora era cuando estábamos juntos en aquella cima? No hace falta que seas exacto al minuto –añadió rápidamente leyendo una protesta en la cara del joven–. Os permitiré un margen de error de media hora, ¡es todo cuanto le pido al hijo de vuestra madre! Después te diré, exacto hasta el último metro, cuánto hemos trajinado entre las tres y las nueve.

Un gruñido fue la respuesta del joven; mientras que sus convulsos rasgos y las profundas arrugas que surcaban una detrás de otra su frente varonil, revelaban el abismo de agonía aritmética en que una pregunta hecha al azar lo había hundido. 

Enigma resumido

Dos viajeros emplean, desde las 15:00 hasta las 21:00, en recorrer un camino llano, después una subida a una colina y el camino opuesto para regresar a la posada. Su paso, en el camino llano era de 4 km/h, en la subida de la colina era de 3 km/h y en la bajada de la colina era de 6 km/h. Debéis hallar la distancia recorrida y la hora en que alcanzaron la cumbre (con media hora de aproximación). 

¡Buena suerte, caballero!

Solución por pasos

Hágase clic en la siguiente imagen solo en caso de verificación:

Recurso

• Carroll, L. (2021). Matemática demente. Austral.

Lewis Carroll y Leopoldo María Panero