ENIGMÁTICAMENTE: La clave de las demostraciones matemáticas

domingo, 6 de febrero de 2022

La clave de las demostraciones matemáticas

Si hay algo que diferencia cualquier ciencia de cualquier otra disciplina es que esta se pueda demostrar. Las Matemáticas no son una excepción. Todas las teorías y teoremas deben ser demostrados por una serie de pasos lógicos sistemáticos que parten de verdades matemáticas ya establecidas (axiomas). Por ejemplo, 1 + 1 = 2 se puede demostrar empíricamente (en este caso absurdo) ya que 1 manzana más 1 manzana son 2 manzanas. Por lo tanto, 1 unidad más 1 unidad son 2 unidades.

Definición de demostraciones matemáticas

Cualquier idea matemática (o científica) puede ser válida siempre y cuando se demuestre de una manera lógica y racional. De ahí que muchas veces consideramos a las Matemáticas como algo 'casi perfecto'. Existen muchas formas de demostrar los conceptos (matemáticos), desde la demostración de la existencia de algo (como puede ser una solución a una ecuación) hasta la demostración de un hecho general (como puede ser que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional); pasando por la singularidad, que significa que solo hay una única solución.

Para demostrar científicamente (y matemáticamente) algo con total seguridad se debe seguir una serie de procedimientos particulares que en un principio pueden parecer no muy lógicos. A este respecto, cualquier teoría matemática se demuestra desde la falsabilidad o la refutabilidad. Es decir, aunque no se conozca ninguna demostración de un teorema no significa que sea cierto hasta el momento que se demuestre que dicho teorema es falso.

Métodos de demostración matemática

Existen principalmente tres métodos para demostrar ideas y teorías matemáticas:

Método de deducción. La lógica deductiva es el proceso por el cual se llega a una conclusión a través de una serie de ideas previamente establecidas. Entonces, el siguiente paso a dar parte de otro previamente establecido.

Un ejemplo básico no matemático de esta lógica sería partir de las siguientes dos verdades: "todas las personas viva respiran", "Gonzalo es una persona". Se sabe que el no respirar no es compatible con la vida ya que el organismo necesita oxígeno (el primer axioma es correcto). A través de una lógica deductiva y sabiendo que Gonzalo es una persona (el segundo axioma es correcto), podemos llegar a la conclusión de que Gonzalo está respirando. En resumen, a través de dos ideas (verdaderas) previas, las relacionamos entre sí para llegar a una conclusión cierta lógicamente hablando.

Método de inducción matemática. Por el contrario, la inducción matemática es un método que usaremos cuando tratamos de establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones. En términos generales, un resultado se prueba en un caso particular y luego se prueba en otros casos hasta que se puede generalizar en la mayoría de casos.

El método reductio ad absurdum. Se trata de un método que consiste en demostrar que un resultado es cierto porque no hay otra solución posible. Entonces, consiste en suponer que el resultado a demostrar es falso y llegar, a partir de ahí, a una contradicción.

QED

De acuerdo con Polster (2004), cuando se demuestra que una teoría matemática es cierta, se escribe al final de dicha demostración las iniciales QED. Estas siglas proceden de la expresión en latín Quod erat demonstrandum; que se puede traducir como Queda demostrado.

Ideas matemáticamente aún no probadas

Estas son algunas de las ideas que aún no están demostradas formalmente. De hecho, ciertas instituciones como el Clay Mathematics Institute (New Hampshire) ofrecen una recompensa económica por encontrar una demostración matemática y una solución satisfactoria a estas y otras cuestiones:

Si la solución a un problema puede verificarse rápidamente, ¿puede este también hallarse rápidamente?

Demostración de la hipótesis de Hodge (que ciertas clases de homología en un espacio arbitrario sean algebraicas).

Hipótesis de Birch y Swinnerton-Dyer. Demostrar si las curvas elípticas tienen un número finito de soluciones racionales.

Demostrar la hipótesis de Riemann, que dice que los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tengan un componente real de 1/2.

Breve historia de las demostraciones matemáticas

Se tiene constancia que ya por el siglo V a.C. Tales e Hipócrates demostraron matemáticamente los primeros teoremas geométricos.

En el año 300 a.C. Euclides realiza deducciones a partir de axiomas o verdades matemáticas (como la que se ha visto en la imagen superior), proponiendo una nueva metodología en el avance matemático.