RESPUESTA. El monarca

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¿Qué tiene el rey en la panza? El ombligo. Un ombligo muy real.

Jacob Sierra Díaz

Diagrama de sectores con R

El Diagrama de Sectores es una de las formas de representar datos de una variable de naturaleza cualitativa. Este tipo de variable poseen valores no numéricos como por ejemplo, el color del pelo o el género de los participantes de una muestra. Este gráfico se obtiene dividiendo un círculo (de 360º) en tantos sectores como valores contenga la variable cualitativa. El área de cada sector es proporcionar al número de individuos al que representa. Obtener un diagrama de sectores con el programa R es muy sencillo. Tan solo hay que invocar la función pie(x).

1.- ¿Qué son los diagramas de sectores?

Los diagramas de sectores, diagramas de tartas o diagramas polares son una forma muy eficaz de representar variables cualitativas. Este tipo de variables tienen distintos valores. Una variable cualitativa puede ser, por ejemplo, el color del pelo y puede incluir estos valores: marrón, rojo, negro o blanco. Cada valor tendrá asociado un sector determinado en el diagrama. Su tamaño o área será proporcional a su frecuencia (veces que se presenta el valor en cuestión). En realidad, el área de cada sector se determina por su ángulo que, tal y como acabamos de ver, vendrá determinado por su frecuencia.

• La suma de todos los ángulos de los sectores que representan cada valor de la variable deberá dar 360º (el círculo completo).

• El ángulo de cada sector al que representa un valor concreto se puede obtener con una sencilla regla de tres.

• Aunque haya muchas forma de representar a un diagrama de sectores, la forma de construirlo es idéntica y común: todo depende de los ángulos.

¿Realmente es útil elaborar un diagrama de sectores manualmente? Bueno, como hemos observado no es muy complicado. Pero lo cierto es que existen programas informáticos que permiten la representación gráfica de una manera muy sencilla. Hoy vamos a ver cómo se hacen los diagramas de sectores con el programa estadístico R. Pero, antes de empezar, propongamos un caso práctico para contextualizar la explicación.

2.- Ejemplo práctico

El alcalde de un pequeño pueblo de la costa del levante ha contratado a una empresa para realizar un conteo de las personas que viven en el municipio. Además, el alcalde desea saber también el total de vecinos y vecinas. Una vez recogida toda la información, la empresa responsable del trabajo le da al alcalde la tabla de la izquierda. Pero el alcalde no quiere que le presenten los resultados en una tabla y pide que lo hagan de una manera más visual para así  poder publicarlo en la página web del ayuntamiento. Entonces, la empresa decide hacer un diagrama de sectores.

3.- Procedimiento

(0) Abrimos el software R en nuestro ordenador. El símbolo > indica el lugar donde procederemos a introducir los datos, funciones u otro tipo de información.

(1) En primer lugar, debemos introducir los datos o valores de la tabla. Para ello, designaremos el nombre de la variable, por ejemplo, genero seguido de <, - y c. Ahora, pondremos los valores entre paréntesis. Cuando hayamos acabado, pulsamos la tecla Enter. En nuestro caso:

> genero <-c(253,246,10)

(2) A continuación, invocaremos la función pie(x). Esta función elaborará un diagrama de sectores con la variable que pongamos entre los paréntesis y que previamente hayamos introducido. En nuestro caso es la variable genero, por lo tanto sustituimos en la función pie(x) la x por genero. Si nuestra variable se hubiese llamado por ejemplo x1 deberíamos escribir pie(x1). Cuando hayamos acabado de escribir la función pulsaremos la tecla Enter.

> pie(genero)

R nos acaba de generar el diagrama de sectores. Date cuenta que el primer valor (1) que hemos introducido en la variable genero corresponde con hombres, el segundo (2) con mujeres y el tercero (3) con prefiere no decirlo. El orden de entrada de datos es algo muy importante para decirle a la máquina cierta información sobre un determinado valor de la variable.

Así es como se elaboran diagramas de sectores en R. Sin embargo, seguramente quieras modificar ciertas cosas como el título, el nombre de cada valor o incluso los colores. ¡Descubramos cómo se puede personalizar el diagrama!

(3) Podemos añadir un título a nuestro diagrama de sectores con el argumento main="nombre". Date cuenta que a esto lo hemos llamado argumento en lugar de función ya que los argumentos modifican ciertas cualidades de la función (y por lo tanto se escriben dentro de la función). Además, ten en cuenta que cualquier texto que pongamos deberá ir entre comillas. Entonces, volveremos a escribir la función pie(genero), introduciremos una coma detrás del nombre de la variable (genero) y pondremos el argumento main="Vecinos del pueblo", por ejemplo.

> pie(genero,main="Vecinos del pueblo")

(4) Es posible cambiar los nombres de este gráfico con el argumento labels="nombre". Este argumento deberá ir dentro de la función pie(x). Sin embargo, antes de ejecutar la función con el argumento, debemos introducir los nombres de los valores previamente, respetando el orden establecido. En nuestro ejemplo, el 1 corresponde con Hombres, el 2 con Mujeres y el 3 con Sin información. Entonces, debemos escribir un nuevo nombre  (en este caso lo hemos llamado nombre) seguido de <, -, c y los nombres entre comillas, separados por comas e incluidos en un paréntesis. Ahora, ya podremos llamara a la función con el argumento para que nos sustituya los números en el diagrama por los nombres.

> nombre <- c("Hombre","Mujer","Sin información")

> pie(genero,main="Vecinos del pueblo",labels=nombre)

Date cuenta que para que se conserve el título anterior, debemos de ponerlo como argumento. Si no lo escribiésemos en la función, nos saldrían únicamente los nombres de los sectores.

(5) Por último, vamos a ver la forma que tenemos para cambiar los colores del gráfico. Para ello usaremos el argumento col=c(z). Entre paréntesis (z) deberemos poner los números que corresponderá a determinados colores. R tiene configurado una relación de números del 0 al 9 con colores básicos. Veamos:

0 --- Blanco

1 --- Marrón

2 --- Rojo

3 --- Verde

4 --- Azul oscuro

5 --- Azul claro

6 --- Morado

7 --- Amarillo

8 --- Gris

9 --- Negro

Entonces, por ejemplo, si quisiésemos poner el sector de los Hombres en rojo debemos escoger el 2. Si quisiésemos poner el sector de las Mujeres en Amarillo debemos poner el 7. Y, si quisiésemos poner el sector de Sin información en Negro debemos poner el 9. Recuerda que debemos respetar el orden y debemos introducir este argumento dentro de nuestra función pie(x).

> pie(genero,main="Vecinos del pueblo", labels=nombre, col=c(2,7,9))

R ofrece muchas otras opciones y argumentos para seguir modificando el diagrama de sectores. Sin embargo, las que hemos visto son las más populares y básicas. Cuando hayamos terminado de modificarlo, podremos copiarlo y pegarlo en el lugar que deseemos. También podremos guardarlo en formato .pdf automáticamente. Para finalizar, recordar que esta forma de representar datos es exclusiva de variables con una naturaleza cualitativa.

Sigma y  Jacob Sierra Díaz

Febrero (2021): el cielo del mes

Febrero es el mes más corto del año. Pero eso no significa que no tengamos citas importantes con nuestro cielo estrellado. Este es el calendario astronómico con los eventos que no debes perderte durante un mes "perfecto" que empieza en lunes y acaba en domingo.

Si tienes paciencia y cuentas con un equipo modesto de observación (prismáticos o telescopio) puedes probar a comprobar la reducción del brillo de la estrella Algol (en la constelación de Perseo) el día 12 de febrero. Además, también te animamos a que veas tres planetas "muy unidos" entre los días 20 y 28 del mes. Mercurio, Júpiter y Saturno estarán muy cerca uno de otro (visto desde la Tierra) próximos al horizonte Suroeste.

Esta y otra información de los eventos astronómicos claves en febrero la tienes en la guía que se adjunta en el siguiente enlace. Recuerda que también puedes acceder a ella desde la página oficial de AstroCuenca.

Guía del cielo de Febrero (2021) [Clic aquí para acceder]

No olvides seguir las recomendaciones de seguridad aplicadas en tu región.

¡Buenas noches y buenos cielos!

Jacob Sierra Díaz y AstroCuenca

Moon

Moon es una aplicación liviana (12,1 MB) para conocer de una forma gratuita y atractiva el estado de nuestro satélite natural diariamente. Con esta aplicación, compatible exclusivamente con dispositivos iOS (iPad y iPhone), podrás ver información de la luna el día que desees: fase lunar, cómo se observará en el cielo, distancia con respecto a la Tierra y coordenadas con el sistema altacimutal (altitud y acimut).

 

Temática y categoría: Astronomía

1.- Funcionamiento básico y sistemas compatibles

Moon es una aplicación muy intuitiva de usar. En la parte de arriba encontramos los eventos más importantes que sucederán en los próximos días (fases o eclipses lunares). A continuación, encontramos un menú para seleccionar el mes, día y año para conocer cómo estará (o estuvo) la Luna. Es interesante destacar que al lado nos encontramos el botón Today (Hoy) para ir rápidamente al momento actual. Debajo encontramos una ilustración de la Luna y la información relativa al porcentaje, distancia, acimut y altitud. Finalmente, en la parte inferior nos encontramos un desglose semanal. 

En realidad, poco hay que tocar en esta aplicación. Simplemente configurar la fecha y observar la información. Otra función interesante que ofrece esta aplicación es la de añadir al calendario de Apple el día en el que la Luna esté llena y nueva. Además, como en la mayoría de aplicaciones, se pueden habilitar las notificaciones. 

Esta aplicación solo es compatible con sistemas iOS (iPad y iPhone).

2.- ¿Qué la hace una gran aplicación?

Principalmente, la forma en la que se presentan los datos y la facilidad de uso hace que sea una aplicación muy interesante si eres amante de la observación del cielo nocturno. Cabe destacar que durante el uso, no hubo interrupciones de publicidad.

3.- ¿Qué echamos de menos?

La aplicación no muestra otra información que no sea relativa a la Luna. Esto puede ser bueno y malo a la vez. Bueno, porque si buscas información lo más básica posible puede que esta (u otra aplicación similar) sea la tuya. Mala, en el caso de que quieras información más detallada sobre momentos en los que sería interesantes observarlas u otra información sobre la geografía lunar o incluso aplicaciones más completas de todos los eventos astronómicos. Además, tampoco tiene un filtro de color rojo para no deslumbrar a la hora de consultarla en mitad de una observación (y así evitar ser deslumbrado).

Por otro lado, debemos indicar que la aplicación está en inglés. Aunque realmente no es necesario tener un conocimiento básico de este idioma porque los números e ilustraciones son universales, bien es cierto que muchas personas exigen que sus aplicaciones estén en su idioma. No obstante, si esto no te importa, piensa que es una buena oportunidad para aprender algo de vocabulario específico en inglés como las fases lunares.

4.- Conclusiones y recomendaciones finales

Si bien es cierto que hay otro tipo de aplicaciones más completas sobre el cielo nocturno que incluyen informaciones y datos más detallados de los astros y eventos astronómicos que se pueden ver, recomendamos esta aplicación si lo que buscas es tener un acceso rápido y conciso del estado de la Luna que no consuma muchos recursos ni batería.

Jacob Sierra Díaz

Blue - weather forecast

Blue es una aplicación muy liviana para dispositivos iOS (iPad y iPhone) para conocer el tiempo atmosférico de una manera muy visual. De manera intuitiva podemos ver cómo va a evolucionar el tiempo en los próximos siete días hora por hora. Principalmente, ofrece información de la temperatura y el estado del cielo en tu ciudad.

Temática y Categoría: Previsión del tiempo

1.- Funcionamiento básico y sistemas compatibles

Blue es una aplicación muy sencilla de usar. Simplemente hay que abrirla para conocer el parte del tiempo meteorológico actual en la parte superior izquierda. Lo primero que nos llama la atención es la escala de colores y tonos que se emplea. Estos colores varían en función de la temperatura que tendremos en las siguientes horas durante los siguientes siete días: desde el morado (frío extremo) hasta el rosa (calor extremo). Si queremos conocer la previsión de los próximos siete días, basta con desplazarse hacia abajo (mover el dedo hacia arriba). Por lo tanto, no es de extrañar que veamos unos tonos más oscuros durante las horas de la noche porque la temperatura será menor que durante el día.

De acuerdo con el desarrollador Oak Studios LLC, el código de colores es:

• Morado: frío extremo
• Azul: día típico de invierno (frío)
• Verde: fresco
• Amarillo: temperatura agradable
• Naranja: día cálido
• Rojo: día típico de verano (calor)
• Rosa: calor extremo

Esta aplicación solo es compatible con iOS (iOS 9.0 o posterior). Esto es, se puede descargar desde la App Store completamente gratuita si tienes un iPad o iPhone.

2.- ¿Qué la hace una gran aplicación?

Principalmente su diseño minimalista y original. Llama la atención que podamos tener una aplicación realmente bonita e intuitiva en la que podemos conocer el pronóstico del tiempo usando el código de colores que hemos visto anteriormente.

Por otro lado, es una aplicación totalmente gratuita y sin publicidad. Recomendable para todas aquellas personas que quieran una aplicación sin banners o interrupciones de publicidad. Esto ya es un punto muy a su favor. Además, resaltamos su peso, ya que no ocupará más de 1,2 MB de almacenamiento.

Por último se destaca que realmente no hay que hacer o configurar nada. La aplicación hace todo por nosotros. Cuando se enciende la aplicación, y se le hayan concedido los permisos de localización, nos informará del tiempo en el lugar donde nos encontremos, cabe destacar que el tiempo de la aplicación es ofrecido por al servicio Dark Sky (https://maps.darksky.net/).

3.- ¿Qué echamos de menos?

Cuando estamos en aplicaciones en las que realmente no tenemos que configurar nada tenemos el problema de que no se puede personalizar. Respecto a este hecho, no es posible cambiar el código de colores, la localización o incluso el formato de grados.

Los grados se presentan en Celsius y no se pueden cambiar a otro sistema. Si una persona está acostumbrada a ver la temperatura en grados Fahrenheit  (principalmente en Estados Unidos) no podrá cambiar la temperatura de los grados Celsius dentro de la aplicación. Sin embargo, según el desarrollador, es posible cambiar la configuración del dispositivo para que esta cambie a grados Fahrenheit.

Además, tampoco se puede cambiar la localización. Con esta aplicación no podrás saber el tiempo que hace en otra parte del mundo ya que principalmente esta muestra exclusivamente la región o ciudad en la que estás.

Finalmente, cabe resaltar que la aplicación está en inglés. Esto no tiene por que ser una desventaja si sabes inglés o deseas aprender algunos términos del tiempo en este idioma. Nuevamente, según el desarrollador, el idioma se puede cambiar si se cambia el idioma de todo el dispositivo, aunque a nosotros siempre nos aparece el inglés.

4.- Conclusiones y recomendaciones finales

Realmente recomendamos esta aplicación si estás buscando una app que te diga de manera general y sin entrar en muchos detalles el parte meteorológico. Creemos que siempre es interesante disponer de una aplicación liviana y sencilla en la que realmente no tengas que configurar nada o realizar alguna modificación. Además, siempre es de agradecer que haya desarrolladores que diseñen aplicaciones sin ningún tipo de publicidad.

En definitiva, aplicación original y muy recomendable para conocer el parte meteorológico y su evolución en función de donde te encuentres. Ideal para personas que tengan un dispositivo iOS y solo les interese conocer la temperatura y el estado del cielo hora a hora.

Jacob Sierra Díaz

Breve historia de la Estadística

La Estadística ha estado presente desde que el hombre decidió vivir en sociedad. De hecho, en las antiguas ciudades del Imperio Romano se hizo muy necesario recopilar datos de la población a través de los primeros censos.

• Un dato curioso es que uno de los censos ordenados por el primer emperador romano César Augusto [63 a.C. - 14 d.C.] a Pubio Sulpicio Quirino [51 a.C. - 21 d.C.] motivó el traslado de José de Nazaret y su esposa María a Belén, lugar donde nació su hijo Jesús en un pesebre. Este hecho histórico se recoge también en la Biblia, en concreto en el Evangelio según San Lucas: "Por aquellos días salió un decreto de César Augusto para que se empadronara todo el mundo. Éste es el primer censo que se hizo siendo Quirino gobernador de Siria. Todos iban a empadronarse, cada uno a su ciudad. También José, por ser descendiente de David, que se llamaba Belén, para empadronarse con María, su mujer, que estaba encinta. Mientras estaban allí se cumplió el tiempo del parto, y dio a luz a su hijo primogénito; lo envolvió en pañales y lo reclinó en un pesebre, porque no encontraron sitio en la posada". (San Lucas, 2, 1-7).

No solo la civilización romana usaba la estadística para cuestiones del Estado, sino que también los griegos, hebreos, sirios, egipcios y persas la usaban con distintos fines tales como el conteo de los nacimientos, la población de una ciudad o incluso el reparto de tierras. Con el paso del tiempo, en la Edad Media [476-1492], la Iglesia fue la encargada de contabilizar los nacimientos (bautizos), matrimonios y fallecimientos.

Más adelante, gracias al desarrollo tecnológico se pudo aplicar las técnicas estadísticas a otros ámbitos que los propios del gobierno. Por ejemplo, el eminente matemático y astronómico Carl Friedrich Gauss [1777-1855] se interesó por los errores de observación astronómica empleando el telescopio de 40 pies de William Herschell [1738-1822]. Su objetivo era aplicar medios estadísticos para reducir mencionados errores, evaluando su repercusión en los resultados de las observaciones. De esta forma, Gauss desarrolló un método matemático fiable para el cálculo de una órbita elíptica a partir de tres medidas observadas. Este método, denominado mínimos cuadrados, se sigue aplicando en la actualidad para el cálculo de órbitas.

A finales de agosto de 1854 hubo una epidemia de cólera en el distrito londinense del Soho. En aquella época se creía que la cólera se transmitía por el aire. John Snow [1813-1858], un eminente médico de la reina Victoria (no confundir con el de Juego de Tronos), sostenía que el cólera se transmitía por el agua. Para demostrarlo, empleó una herramienta que apenas se había usado anteriormente: la Estadística Descriptiva. Pocos días después de estallar la epidemia, Snow visitó la zona donde más pacientes y víctimas se registraban. Su hipótesis era que la enfermedad se transmitía por el agua de la fuente de la calle Broad. Para verificarla, fue casa por casa preguntando el lugar de donde recogían el agua para el consumo. Una vez acabada la recogida de datos, el día 7 de septiembre de 1854 Snow reunió a las autoridades locales para exponer sus resultados. En la asamblea, Snow mostró un mapa de la zona en que se había registrado las víctimas mortales. El número de víctimas era mayor en las inmediaciones de la fuente de la calle Broad, actualmente Broadwick. El mapa (que se conserva en el Museo Británico) demostró a las autoridades que el brote provenía de la fuente. Una vez desmantelada la fuente, el número de casos de cólera descendió significativamente, confirmando la teoría de que el cólera se podía transmitir por un medio acuoso. A día de hoy, en la calle Broadwich se puede ver una réplica de la fuente que dio origen a la Estadística Descriptiva y a la presentación de datos en mapas y/o gráficos.

Entonces, ¿por qué llamamos a la Estadística, precisamente Estadística? Básicamente por su historia. Esta palabra deriva del latín statvs, que significa, por un lado, el Estado (entidad política) y, por otro lado, el estado de alguien o algo. Lo cierto es que no fue hasta el siglo XVIII que la Estadística Matemática fue considerada como ciencia, motivado, en gran parte, por el teorema de Bernoulli. En concreto, Godofredo Achenwall [1719-1772], considerado como el "inventor de la Estadística", definió esta disciplina como la ciencia de las cosas que pertenecen al Estado. Sin embargo, en palabras de Yáñez-Canal (2000), la Estadística debe ser considerada como una ciencia independiente surgida en el siglo XX gracias a las aportaciones de Ronald Aylmer Fisher [1890-1962].

Sigma y Jacob Sierra Díaz

Estadística univariante con la CASIO ClassWiz

Las calculadoras científicas se han convertido en un instrumento esencial en los procesos de enseñanza-aprendizaje de ciencias y matemáticas. De hecho, al igual que puede ocurrir con el resto de dispositivos electrónicos o digitales, las calculadoras se actualizan y, por lo tanto, hay modelos que se quedan obsoletos. 

La empresa CASIO se ha convertido en marca referente de calculadoras científicas usadas en los centros de enseñanza alrededor del mundo. Sus modelos han ido evolucionando de calculadoras con una sola línea de pantalla o display hasta calculadoras que permiten visualizar tablas, gráficos, funciones e incluso objetos tridimensionales en sus pantallas, tal y como observamos en la imagen de la izquierda.

En la actualidad, los docentes de matemáticas y otras ramas científicas suelen recomendar a sus alumnos adquirir la calculadora científica CASIO serie ClassWiz (o similares). A diferencia de las anteriores calculadoras CASIO fx-82MS, la serie ClassWiz está pensada para explicar y comprender conceptos matemáticos a través de una pantalla mucho más grande que permite calcular operaciones tal y como las vemos en el libro de texto.

1.- Estadística con la calculadora científica

No es de extrañar creer que podemos hacer cálculos estadísticos con nuestra calculadora científica CASIO serie ClassWiz. Simplemente debemos activar el modo Estadística en la calculadora y conocer ciertos procedimientos sencillos que explicaremos a continuación. Los procedimientos y funciones que vamos a ver aquí están dedicados a las calculadoras CASIO ClassWiz básica fx-82SPXII, fx-83GT X, fx-85SPII, fx-85GT X o similares. No obstante, si tu modelo no es ninguno de los anteriores, te animamos a seguir la lectura de la guía ya que no suele haber cambios significativos de una calculadora o modelo a otra u otro.

En primer lugar, para activar el modo Estadística en nuestra calculadora pulsaremos MENU / SETUP o, en su defecto, MENU / CONFIG y buscaremos la opción estadística. En la serie ClassWiz básica se activa pulsando la tecla 2. Observa la imagen de la derecha. 

Dentro de este modo hay un menú para señalar las funciones y operaciones estadísticas que podemos realizar con esta calculadora. Puesto que hoy vamos a ver la estadística univariante, pulsaremos la tecla 1 (u aquella que nos indique la función 1-variable).

2.- Estadística con una sola variable

La estadística más básica que se puede hacer es con una sola variable o característica observable en un grupo de sujetos. Al estudio de una sola variable se la conoce como Estadística Univariante. En nuestra calculadora podremos introducir dos tipos de variables univariantes: la que se presenta con las observaciones "en bruto" o la que se presenta con frecuencias.

En efecto, podremos obtener información estadística de nuestra variable introduciendo los valores directamente en una tabla (hasta 160 registros) o insertando las veces que se repite dicho valor (las frecuencias, hasta 80 registros). Por otro lado, es posible hacer estadística univariante cuando los datos están agrupados por intervalos. Simplemente calcularemos la marca de clase de cada intervalo y lo pondremos en la columna de valores seguido por sus respectivas frecuencias.

¿Qué información se obtiene cuando analizamos una variable en la calculadora? Principalmente todos los valores básicos de la estadística descriptiva incluyendo  los más importantes: media aritmética y desviación estándar.

3.- Guía para llevar a casa

Haz clic en el siguiente enlace de BOX para acceder de manera gratuita al manual sobre cómo hacer estadística con una sola variable en las calculadoras CASIO serie ClassWiz. Esta guía incluye paso a paso todo lo que debes hacer para obtener los resultados estadísticos que deseas saber de tu variable de una manera amena y concisa.

Guía de Estadística univariante con la CASIO ClassWiz [Clic aquí para acceder]

A pesar de que esta guía se centra principalmente en el uso de la calculadora científica no programable Casio serie ClassWiz, en la parte final se incluye un glosario de ayuda con la definición de los términos estadísticos más importantes que se precisa saber.

4.- Idoneidad de uso

Este procedimiento es recomendable cuando desees resolver algún problema estadístico básico o hallar rápidamente ciertos valores estadísticos de una variable no muy amplia. En la guía hemos visto cómo hallar los estadísticos más importantes de nuestra única variable. Esto es lo único que estos modelos de calculadora pueden hacer por nosotros. Los modelos de calculadora que hemos visto no pueden generar gráficos o hacer análisis más complejos.

Por otro lado, las calculadoras no programables tienen una limitación considerable con respecto a guardar los datos que hemos introducido en la variable. La variable se pierde cuando se resetea la calculadora y no hay forma de importar o exportar las observaciones o los resultados. En otras palabras, se debe introducir cada dato manualmente y se deberá apuntar en otro lugar el resultado si se desea conservarlo.

Se espera que se haga un uso más docente que científico, ya que los análisis estadísticos más avanzados se hace a través de programas estadísticos en los ordenadores o en calculadoras científicas programables.

No obstante, la calculadora científica se convierte, sin lugar a dudas, en el primer aliado para dar los primeros pasos en el mundo de la Estadística. Así pues es muy recomendable su uso para comprender mejor los procesos estadísticos y probabilísticos presentes en nuestra vida.

Sigma y Jacob Sierra Díaz