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martes, 19 de enero de 2021

Breve historia de la Estadística

La Estadística ha estado presente desde que el hombre decidió vivir en sociedad. De hecho, en las antiguas ciudades del Imperio Romano se hizo muy necesario recopilar datos de la población a través de los primeros censos.
  • Un dato curioso es que uno de los censos ordenados por el primer emperador romano César Augusto [63 a.C. - 14 d.C.] a Pubio Sulpicio Quirino [51 a.C. - 21 d.C.] motivó el traslado de José de Nazaret y su esposa María a Belén, lugar donde nació su hijo Jesús en un pesebre. Este hecho histórico se recoge también en la Biblia, en concreto en el Evangelio según San Lucas: "Por aquellos días salió un decreto de César Augusto para que se empadronara todo el mundo. Éste es el primer censo que se hizo siendo Quirino gobernador de Siria. Todos iban a empadronarse, cada uno a su ciudad. También José, por ser descendiente de David, que se llamaba Belén, para empadronarse con María, su mujer, que estaba encinta. Mientras estaban allí se cumplió el tiempo del parto, y dio a luz a su hijo primogénito; lo envolvió en pañales y lo reclinó en un pesebre, porque no encontraron sitio en la posada". (San Lucas, 2, 1-7).

No solo la civilización romana usaba la estadística para cuestiones del Estado, sino que también los griegos, hebreos, sirios, egipcios y persas la usaban con distintos fines tales como el conteo de los nacimientos, la población de una ciudad o incluso el reparto de tierras. Con el paso del tiempo, en la Edad Media [476-1492], la Iglesia fue la encargada de contabilizar los nacimientos (bautizos), matrimonios y fallecimientos.

Más adelante, gracias al desarrollo tecnológico se pudo aplicar las técnicas estadísticas a otros ámbitos que los propios del gobierno. Por ejemplo, el eminente matemático y astronómico Carl Friedrich Gauss [1777-1855] se interesó por los errores de observación astronómica empleando el telescopio de 40 pies de William Herschell [1738-1822]. Su objetivo era aplicar medios estadísticos para reducir mencionados errores, evaluando su repercusión en los resultados de las observaciones. De esta forma, Gauss desarrolló un método matemático fiable para el cálculo de una órbita elíptica a partir de tres medidas observadas. Este método, denominado mínimos cuadrados, se sigue aplicando en la actualidad para el cálculo de órbitas.

A finales de agosto de 1854 hubo una epidemia de cólera en el distrito londinense del Soho. En aquella época se creía que la cólera se transmitía por el aire. John Snow [1813-1858], un eminente médico de la reina Victoria (no confundir con el de Juego de Tronos), sostenía que el cólera se transmitía por el agua. Para demostrarlo, empleó una herramienta que apenas se había usado anteriormente: la Estadística Descriptiva. Pocos días después de estallar la epidemia, Snow visitó la zona donde más pacientes y víctimas se registraban. Su hipótesis era que la enfermedad se transmitía por el agua de la fuente de la calle Broad. Para verificarla, fue casa por casa preguntando el lugar de donde recogían el agua para el consumo. Una vez acabada la recogida de datos, el día 7 de septiembre de 1854 Snow reunió a las autoridades locales para exponer sus resultados. En la asamblea, Snow mostró un mapa de la zona en que se había registrado las víctimas mortales. El número de víctimas era mayor en las inmediaciones de la fuente de la calle Broad, actualmente Broadwick. El mapa (que se conserva en el Museo Británico) demostró a las autoridades que el brote provenía de la fuente. Una vez desmantelada la fuente, el número de casos de cólera descendió significativamente, confirmando la teoría de que el cólera se podía transmitir por un medio acuoso. A día de hoy, en la calle Broadwich se puede ver una réplica de la fuente que dio origen a la Estadística Descriptiva y a la presentación de datos en mapas y/o gráficos.

Entonces, ¿por qué llamamos a la Estadística, precisamente Estadística? Básicamente por su historia. Esta palabra deriva del latín statvs, que significa, por un lado, el Estado (entidad política) y, por otro lado, el estado de alguien o algo. Lo cierto es que no fue hasta el siglo XVIII que la Estadística Matemática fue considerada como ciencia, motivado, en gran parte, por el teorema de Bernoulli. En concreto, Godofredo Achenwall [1719-1772], considerado como el "inventor de la Estadística", definió esta disciplina como la ciencia de las cosas que pertenecen al Estado. Sin embargo, en palabras de Yáñez-Canal (2000), la Estadística debe ser considerada como una ciencia independiente surgida en el siglo XX gracias a las aportaciones de Ronald Aylmer Fisher [1890-1962].





Sigma y Jacob Sierra Díaz

domingo, 3 de enero de 2021

Estadística univariante con la CASIO ClassWiz

Las calculadoras científicas se han convertido en un instrumento esencial en los procesos de enseñanza-aprendizaje de ciencias y matemáticas. De hecho, al igual que puede ocurrir con el resto de dispositivos electrónicos o digitales, las calculadoras se actualizan y, por lo tanto, hay modelos que se quedan obsoletos. 

La empresa CASIO se ha convertido en marca referente de calculadoras científicas usadas en los centros de enseñanza alrededor del mundo. Sus modelos han ido evolucionando de calculadoras con una sola línea de pantalla o display hasta calculadoras que permiten visualizar tablas, gráficos, funciones e incluso objetos tridimensionales en sus pantallas, tal y como observamos en la imagen de la izquierda.

En la actualidad, los docentes de matemáticas y otras ramas científicas suelen recomendar a sus alumnos adquirir la calculadora científica CASIO serie ClassWiz (o similares). A diferencia de las anteriores calculadoras CASIO fx-82MS, la serie ClassWiz está pensada para explicar y comprender conceptos matemáticos a través de una pantalla mucho más grande que permite calcular operaciones tal y como las vemos en el libro de texto.


1.- Estadística con la calculadora científica

No es de extrañar creer que podemos hacer cálculos estadísticos con nuestra calculadora científica CASIO serie ClassWiz. Simplemente debemos activar el modo Estadística en la calculadora y conocer ciertos procedimientos sencillos que explicaremos a continuación. Los procedimientos y funciones que vamos a ver aquí están dedicados a las calculadoras CASIO ClassWiz básica fx-82SPXII, fx-83GT X, fx-85SPII, fx-85GT X o similares. No obstante, si tu modelo no es ninguno de los anteriores, te animamos a seguir la lectura de la guía ya que no suele haber cambios significativos de una calculadora o modelo a otra u otro.

En primer lugar, para activar el modo Estadística en nuestra calculadora pulsaremos MENU / SETUP o, en su defecto, MENU / CONFIG y buscaremos la opción estadística. En la serie ClassWiz básica se activa pulsando la tecla 2. Observa la imagen de la derecha. 

Dentro de este modo hay un menú para señalar las funciones y operaciones estadísticas que podemos realizar con esta calculadora. Puesto que hoy vamos a ver la estadística univariante, pulsaremos la tecla 1 (u aquella que nos indique la función 1-variable).



2.- Estadística con una sola variable

La estadística más básica que se puede hacer es con una sola variable o característica observable en un grupo de sujetos. Al estudio de una sola variable se la conoce como Estadística Univariante. En nuestra calculadora podremos introducir dos tipos de variables univariantes: la que se presenta con las observaciones "en bruto" o la que se presenta con frecuencias.


En efecto, podremos obtener información estadística de nuestra variable introduciendo los valores directamente en una tabla (hasta 160 registros) o insertando las veces que se repite dicho valor (las frecuencias, hasta 80 registros). Por otro lado, es posible hacer estadística univariante cuando los datos están agrupados por intervalos. Simplemente calcularemos la marca de clase de cada intervalo y lo pondremos en la columna de valores seguido por sus respectivas frecuencias.

¿Qué información se obtiene cuando analizamos una variable en la calculadora? Principalmente todos los valores básicos de la estadística descriptiva incluyendo  los más importantes: media aritmética y desviación estándar.




3.- Guía para llevar a casa

Haz clic en el siguiente enlace de BOX para acceder de manera gratuita al manual sobre cómo hacer estadística con una sola variable en las calculadoras CASIO serie ClassWiz. Esta guía incluye paso a paso todo lo que debes hacer para obtener los resultados estadísticos que deseas saber de tu variable de una manera amena y concisa.

Guía de Estadística univariante con la CASIO ClassWiz [Clic aquí para acceder]


A pesar de que esta guía se centra principalmente en el uso de la calculadora científica no programable Casio serie ClassWiz, en la parte final se incluye un glosario de ayuda con la definición de los términos estadísticos más importantes que se precisa saber.



4.- Idoneidad de uso

Este procedimiento es recomendable cuando desees resolver algún problema estadístico básico o hallar rápidamente ciertos valores estadísticos de una variable no muy amplia. En la guía hemos visto cómo hallar los estadísticos más importantes de nuestra única variable. Esto es lo único que estos modelos de calculadora pueden hacer por nosotros. Los modelos de calculadora que hemos visto no pueden generar gráficos o hacer análisis más complejos.

Por otro lado, las calculadoras no programables tienen una limitación considerable con respecto a guardar los datos que hemos introducido en la variable. La variable se pierde cuando se resetea la calculadora y no hay forma de importar o exportar las observaciones o los resultados. En otras palabras, se debe introducir cada dato manualmente y se deberá apuntar en otro lugar el resultado si se desea conservarlo.

Se espera que se haga un uso más docente que científico, ya que los análisis estadísticos más avanzados se hace a través de programas estadísticos en los ordenadores o en calculadoras científicas programables.

No obstante, la calculadora científica se convierte, sin lugar a dudas, en el primer aliado para dar los primeros pasos en el mundo de la Estadística. Así pues es muy recomendable su uso para comprender mejor los procesos estadísticos y probabilísticos presentes en nuestra vida.


Sigma y Jacob Sierra Díaz

viernes, 25 de diciembre de 2020

Agrupaciones por intervalos

Con el fin de facilitar el análisis y la interpretación de los datos, los datos de una variable se pueden agrupar por intervalos. No obstante, esta práctica está en desuso debido a que la estadística ya se hace con ordenadores.


1.- Conceptos básicos

Un intervalo son dos valores de una variable cuantitativa separados por un guión y abarcados con corchetes y/o paréntesis. Por ejemplo, [5 - 10], (1 - 3), [45 - 47), (56 - 78] ...

  • Los corchetes incluyen al valor en el intervalo. Por ejemplo, en el caso del intervalo [5 - 10) el 5 está incluido en este intervalo. 
  • Los paréntesis excluyen al valor en el intervalo. Por ejemplo, en el intervalo [5 - 10) el 10 no está incluido en el intervalo.

Los dos valores del intervalo se llaman extremos de clase. En cada intervalo hay un límite inferior y un límite superior. En el ejemplo [5 - 10) el límite inferior es 5 y el superior es 10. 

La marca de clase es el punto medio del intervalo y se calcula en cada intervalo con la siguiente fórmula: (Límite inferior + Límite superior) / 2. En el ejemplo [5 - 10) la marca de clase es 7,5 porque (5 + 10) / 2 = 7,5

Llamamos amplitud o tamaño del intervalo a la resta del límite superior menos el límite inferior. En el ejemplo [5 - 10) la amplitud es 5 porque 10 - 5 = 5.


2.- Diseño de intervalos

Normalmente los intervalos no se construyen bajo el criterio del investigador, sino bajo un criterio matemático. En este epígrafe veremos las dos fórmulas principales que podremos usar para saber el número de intervalos que tendremos y su amplitud recomendable.

1) Para saber el número ideal de intervalos k que podremos hacer se recomienda usar la fórmula de Sturges (1926).

No obstante, existe otro criterio para establecer el número ideal de intervalos: criterio de Kaiser. Se trata de la raiz cuadrada del número total de observaciones.

2) Para saber la amplitud que tendrán nuestros k intervalos se recomienda aplicar la siguiente fórmula:


3.- Guía para llevar a casa

Haz clic en el siguiente enlace para acceder desde la nube de Box la guía sobre los agrupamientos por intervalos. Puedes leerla en línea o descargarla en tu dispositivo en formato PDF.

Guía de Agrupamientos por Intervalos (Clic aquí para acceder)


En ella podrás aprender a expresar un intervalo cualquiera matemáticamente, conocer el concepto de amplitud variable y constante, o ver un ejemplo práctico de las dos sencillas fórmulas para construir intervalos.



Fuente bibliográfica

  • Sturges, H. (1926). The choice of a class-interval. Journal of American Statistical Association, 21, 65-66.


Sigma y Jacob Sierra Díaz

domingo, 20 de diciembre de 2020

Tablas de distribución de Frecuencias

Una de las técnicas más básicas para resumir datos consiste en agrupar las distintas observaciones en cada una de las categorías correspondientes y reflejarlas en una tabla. A esas tablas se les conoce como tablas de distribución de frecuencias.  


1.- Tipos de tablas de distribución

Podemos distinguir tres tipos de tablas en función del tipo de variable con la que estemos trabajando (variable cualitativa o cuantitativa). La diferencia de cada una de ellas radica en la primera columna que corresponderá con las categorías o modalidades de la variable

Si las categorías de esta primera columna contienen palabras, estamos ante una tabla de distribución de una variable cualitativa. Si, por el contrario, contiene valores numéricos, estamos ante una tabla de distribución de una variable cuantitativa. A su vez, las variables cuantitativas se pueden agrupar en intervalos; por lo que diremos que estamos ante una tabla agrupada.




2.- Elementos de una tabla de distribución

Una tabla de distribución de frecuencia tiene básicamente cinco columnas. No obstante, también puedes encontrarte tablas que incluyan más información.

En la primera columna, se reflejan las categorías, valores o modalidades de la variable. 

En la segunda columna, se incluyen las frecuencias que tiene cada una de las categorías de la variable observadas en la muestra. A este valor se le llama oficialmente frecuencia absoluta ni (xi o ii en función de la naturaleza de la variable). 
  • La suma de todas las frecuencias absolutas nos da la frecuencia total n o el número total de participantes de la muestra.

En la tercera columna, se muestra la frecuencia relativa fi o fr. Esta es la división entre la frecuencia absoluta (de cada categoría) entre el número total de la muestra.

  • La suma de esta columna deberá de dar 1.
  • Podemos calcular el porcentaje de individuos pi de cualquier categoría o valor multiplicando la frecuencia relativa fi por 100.

En la cuarta columna, se refleja la frecuencia absoluta acumulada Ni. Esta es la suma de las frecuencias absolutas anteriores hasta una categoría dada.
  • El último valor debe coincidir con el número total de la muestra.

Finalmente, la quinta columna, incorpora la frecuencia relativa acumulada Fi. Esta es la división de la frecuencia acumulada entre el número total de individuos de la variable.

  • El último valor debe dar 1.


3.- Guía para llevar a casa

Para conocer en profundidad cómo se elabora una tabla de distribución de frecuencias, puedes hacer clic en el siguiente enlace. Puedes leer o descargarla la guía en tu dispositivo.


En esta guía aprenderemos conceptos generales, descubriremos las fórmulas detrás de las tablas y analizaremos paso a paso cómo diseñar una tabla de distribución a través de un caso práctico. ¿Aún así tienes dudas? ¡No hay problema! No olvides que también puedes escribir un comentario aquí si tienes alguna duda sobre este apasionante tema.




4.- Ejemplo práctico

Mediante una encuesta por teléfono se ha obtenido información del nivel de estudios a 120 personas. Esta variable tiene cuatro categorías: sin estudios, Primaria, Secundaria y Universitario.

Para presentar los datos, se ha elaborado una tabla de distribución de frecuencias:




Sigma y Jacob Sierra Díaz

domingo, 4 de octubre de 2020

La estrategia detrás de Hundir la Flota

Hundir la flota, también llamado Batalla Naval o Los Barquitos (en inglés Battleship) es un juego de mesa clásico para dos participantes. Como curiosidad, la película de 2012 titulada Battleship se basó originalmente en este juego.

Este juego ha ido evolucionando a lo largo del tiempo. Hemos pasado de sistema de registro a lápiz y papel a aplicaciones digitales en la que es posible competir con otros jugadores alrededor del mundo. El objetivo del juego principalmente es identificar la posición de todos los barcos del contrincante. Gana el jugador que primero haya hundido la flota rival.

Lo cierto es que el juego es muy sencillo de aprender. Además, recomendamos su juego por la transferencia que tiene a los sistemas de coordenadas cartesianas (x,y) tan importante en Matemáticas. Sin embargo, hoy nos vamos a centrar en el aspecto estratégico y táctico del juego¿Realmente existe alguna estrategia que podamos adoptar en el juego? 


Como ya lo habrás intuido, necesitamos recurrir a una rama de las Matemáticas para tratar de ganar el juego: la Probabilidad. Si bien, las estrategias no funcionan en el cien por cien de los casos, pueden ser muy útiles para ganar a nuestro rival. Sobretodo si este no usa ninguna estrategia. Entonces, en primer lugar, vamos a ver qué decisión puede ser la más inteligente a la hora de colocar nuestros barcos antes de comenzar la partida. En segundo y último lugar, vamos a tratar de averiguar cuál es la mejor manera de lanzar las coordenadas de ataque. ¡Todos a sus puestos de combate!


- Posición de la flota (previo al juego)

Existen 30.093.975.536 formas distintas de ubicar los barquitos en el tablero del océano. Lian Brown, junto con muchos otros expertos, elaboraron un mapa de calor sobre las casillas más atacadas. 


Fíjate cómo las casillas que estadísticamente son las más atacadas se ubican en el centro. Por lo tanto, debemos tratar de evitar colocar tus barcos en las casillas más populares o susceptibles de ser atacadas ya sea por su ubicación o por el mero azar.

  • Trata de colocar tus barquitos separados unos de otros. Si por algún motivo tocan un barco que está junto con otro, lo más seguro es que lo hundan.
  • Ubica algunos de tus barcos en los laterales del tablero. Como acabas de ver, estadísticamente es más probable que los tiros (por lo menos los primeros) vayan al centro del tablero que en los bordes.
    • Trata de colocar tus barcos de una manera "poco convencional". Esto hará confundir un poco a tu rival. Puedes probar a cambiar la orientación de algunos barco o, dependiendo del jugador que tengas en frente, puedes mantener la misma orientación de todos tus barquitos (todos en horizontal o todos en vertical). Recuerda que suele ser recomendable ubicar algunos en los bordes. 
    • Nunca pongas dos barquitos contiguos. Trata de separarlos por lo menos una casilla. Esto es debido a que si tocan en esa zona, el rival puede hundir ambos con relativa facilidad. Aunque también es cierto que puede darse el caso de que si ha hundido un barquito (sin tocar el otro), piense que en los alrededores no hay otro y, por lo tanto, se centre en otro sector.



- Disparos a la flota enemiga (durante el juego)

Como ya sabes, el juego se compone de 10 filas y 10 columnas. Esto quiere decir que se pueden disparar un máximo de 100 veces por partida y jugador. La estrategia básica que debemos seguir como atacantes es la de tratar de neutralizar el mayor espacio posible con un número pequeño de disparos. A estas alturas ya estarás pensando que no es muy buena estrategia disparar al azar. En efecto, se recomienda una planificación previa de los disparos.

Ten en cuenta esta regla de oro: es posible neutralizar todo el tablero con solo 50 disparos. Según varios estudios realizados con ayuda de un ordenador que calculaba las probabilidades de una cantidad significativa de partida determinaron que lo mejor es realizar tiros en diagonal, tal y como se muestra en la siguiente imagen. 



Como puedes ver, hemos identificado la posición concreta de los barcos enemigos usando 50 disparos. Llegados a este punto no será muy complicado hundir los barcos. Esta estrategia es muy efectiva cuando estamos ante jugadores que lanzan sus disparos sin ninguna planificación previa, es decir, al azar. Pero también es justo decir que posiblemente se necesitarán menos disparos (siguiendo este método) para hundir toda la flota. Ahora bien, la cuestión ahora es saber por dónde empezar. 

  • Si sospechamos que el jugador ha colocado sus barcos por el centro, recomendamos empezar a disparar en la diagonal comprendida en la posición A-10 y J-1 (o 10-A y 1-J dependiendo en los ejes en los que se encuentre las letras y los números). Es decir:

    • Con esto ya habremos divido el tablero por la mitad. Ahora, recomendamos dividir cada parte en dos, por ejemplo usando la diagonal A-2 e I-10 (o 2-A y 10-I) tal y como muestra la flecha azul de la imagen de arriba.
    • Y así sucesivamente, es decir, iremos dividiendo cada parte de los sectores en dos hasta que toquemos un barco enemigo.

Otra estrategia muy interesante, aunque no tan efectiva como la anterior, puede ser la de disparar formando cuadrados cada vez más pequeños o más grandes tal y como se refleja en la siguiente imagen.


  • Si usas esta estrategia de disparo, te recomendamos que empieces por las coordenadas B-2, I-2, B-2 y B-9 (o 2-B, 2-I, 9-B o 9-I dependiendo de tu juego).



En tu mano queda ahora usar estos u otros consejos para ganar tu próxima batalla naval. Recuerda que no existe una estrategia mágica o truco que siempre sea efectivo. De hecho, es probable que aplicando estos consejos puedas perder tu partida. Pero ahí está la gracia del juego. ¿Qué sentido tiene ganar siempre? No olvides que también puedes dejar en comentarios la forma en la que juegas a este conocido juego de mesa.



Jacob Sierra Díaz

viernes, 4 de septiembre de 2020

Direcciones de Casiopea

Casiopea (Cassiopeia) es una de las constelaciones más reconocibles del hemisferio norte. En la mitología, Casiopea es la mujer de Cefeo (que también es una constelación). Se trata de una constelación circumpolar. Esto significa que siempre está presente durante todas las noches del año en los cielos con latitudes superiores a los 40º. Los nombres de las estrellas que forman la famosa W son: Caph, Shedar, Cih o Navi, Ruchbah y Segin. La constelación está en el ecuador galáctico. De ahí que posea múltiples cúmulos abiertos como M 103 o M 52. Casiopea es ideal para encontrar otras constelaciones a su alrededor mucho menos intuitivas.


Encontrar a Casiopea

De acuerdo con Henarejos (2009), Casiopea se encuentra por encima de la Osa Mayor a unos 65º aproximadamente. Para encontrarla, partiendo de la Osa Mayor, debemos prolongar la longitud aproximada entre Megrez (en la Osa Mayor) a la Estrella Polar (en la Osa Menor) hacia el Este hasta ver una estrella brillante que está en el medio de la W de Casiopea (Cih, también conocida como Navi). En la siguiente imagen se muestra la posición de Casiopea partiendo de la Osa Mayor pasando por la Estrella Polar en la Osa Menor.




Orientarse en el cielo con Casiopea

Por desgracia, Casiopea no ofrece "buenas" alineaciones con otras constelaciones u estrellas características. No obstante, no deja de ser un buen punto de partida para localizar las constelaciones vecinas. Con Casiopea podremos llegar a Andrómeda, Pegaso, Lagarto, Cisne (y Triángulo de verano), Perseo, Cefeo, Dragón, Osa Menor y Osa Mayor.
  • Prolongando la línea Cih o Navi y Schedar de nuestra constelación de partida dirección este llegamos a Alpheratz en Andrómeda. Esta es la estrella más brillante del Cuadrado de Pegaso. Por otro lado, tal y como podemos contemplar en la siguiente imagen, si bajamos a mitad del recorrido nos toparemos con la famosa galaxia de Andrómeda (M 31).


  • En las noches de verano, partiendo de Caph, que está al lado extremo derecho de la W, en línea recta dirección este nos encontraremos con una estrella muy brillante llamada Deneb en la constelación del Cisne.Esta estrella es uno de los vértices del famoso Triángulo Estival (formado por las constelaciones Lira y Águila). Aproximadamente a mitad del recorrido está la constelación Lagarto


  • Prolongando la línea Cih (o Navi) y Ruchbah dirección norte llegaremos a Miram en la constelación de Perseo.


  • Encima de la W nos encontraremos a Cefeo y el Dragón (al lado de la Osa Menor).




Referencias bibliográficas

Todos los gráficos han sido extraídos del software Stellarium Web.
  • HENAREJOS, P. Observación del cielo: guías de bosillo. Madrid: TIKAL ediciones, 2009. 254 pp. ISBN: 978-84-305-5889-6.

Jacob Sierra Díaz


martes, 1 de septiembre de 2020

Septiembre (2020): el cielo del mes

Llega septiembre. Para muchos un mes con encanto y para otros un mes que nunca deseas que llegue, sobre todo si eres estudiante :). Pero el cielo no para de dar vueltas. ¿Qué espectáculos nos esperan este mes? Este es el calendario astronómico con las citas más importantes durante las noches de septiembre.


Uno de los eventos más especiales de este mes será la ocultación de Marte con la Luna el día 6. Por desgracia, solo será visible en las Islas Canarias (y tal vez en el Sur de la península). Por otro lado, no olvides que el día 22 de septiembre comenzamos la estación de otoño. Astrononómicamente hablando, pasaremos por el equinoccio. Esto significa que el día y la noche durarán lo mismo (12 horas).


Haz clic en el siguiente enlace para descargar la guía completa de este mes. Recuerda que también puedes acceder a ella en la página de AstroCuenca.

Guía del cielo de Septiembre (2020) [Clic aquí para acceder]


¡Buenas noches y buenos cielos!


Jacob Sierra Díaz y AstroCuenca