Las profundidades del océano

Una de las noticias que más se pueden escuchar estos días es la desaparición del pequeño submarino de la empresa OceanGate Expedition, con cinco tripulantes, incluyendo al director ejecutivo de la empresa Stockton Rush. Lo cierto es que de esta noticia se pueden extraer gran cantidad de información matemática como la probabilidad de un rescate con éxito o el volumen de oxígeno necesario para navegar por nuestros mares. Pero hoy nos vamos a centrar en las enormes distancias que este pequeño submarino tiene que recorrer para llegar al pecio del Titanic. Vamos, por tanto, a hablar de distancias y Oceanografía.

Pero antes de comenzar, es curioso el dato de que tenemos mapas mucho más precisos de la Luna o de Marte que de nuestros océanos. Más allá de esta anécdota, también es justo decir que ambas cosas no son comparables. Bajo el mar hay muchas adversidades como la presión o incluso criaturas enormes (como veremos a continuación), mientras que en el espacio, podemos hablar de un entorno relativamente más "tranquilo" (que no quiere decir que no tenga complicaciones técnicas también). A esto se le suma que no tenemos un "telescopio submarino" que pueda ver el fondo de los océanos por las características físicas del entorno como sí que tenemos para ver nuestros cielos nocturnos.

La mayor parte de la vida submarina se desarrolla cerca de la superficie, alrededor de los 30 metros, donde encontramos gran cantidad de luz y oxígeno. Pero el oxígeno que hay a estas profundidades es tóxico por la presión. De ahí que los buzos precisen usar bombonas de gases especiales con bajas concentraciones de oxígeno.

A unos 110 metros nos encontramos los límites de profundidad de las orcas (Ocinus orca). Tienen un peso de entre 3.600 kg y 5.400 kg. Suelen medir entorno a los 7 metros de longitud. 

A una profundidad de 301 metros está establecido el record de buceo en apnea dinámica con monoaleta el día 24 de junio de 2022 por el francés Guillame Bourdila (en la fotografía). La apnea es una disciplina deportiva que consiste en sumergirse conteniendo voluntariamente la respiración. Hablando de records, el buceo con equipo más profundo se estableció en el Mar Rojo por Ahmed Gabr, quien bajó a 332 metros. Tardó 12 minutos en llegar a la profundidad deseada y para subir tuvo que seguir un protocolo de descompresión que duró unas 14 horas. 

A 500 metros está la profundidad máxima a la que nada la gran ballena azul (Balaenoptera musculus; en la fotografía). Tiene un peso que oscila desde los 70.000 kg hasta los 150.000kg y su longitud se extiende más allá de los 20 metros.

A 650 metros se puede ver el cangrejo-araña japonés (Macrocheira kaempferi), que es la especie de cangrejo más grande del mundo. Sus patas pueden llegar a medir hasta los 2 metros. Las pinzas son incluso más poderosa que la mandíbula del cocodrilo. Se estima que pueden llegar a vivir un siglo en condiciones naturales (70 años en cautiverio). 

A los 1.000 metros de profundidad el pequeño submarino Titan de OceanGate debe encender sus luces ya que a esta profundidad se está en total oscuridad porque la luz solar ya no puede "seguir". Para llegar a los restos del Titanic se debe bajar aún 3.000 metros más.

Sobre los 1.050 metros es posible ver animales bioluminiscentes gracias a una enzima que se llama luciferasa. Por poner un ejemplo de este tipo de animales, destaca la medusa de cristal (Aequorea victoria; en la fotografía) o el rape abisal (Melanocetus johnsonii), que es el pez que tiene "una luz colgando de una antena" para ser usado como un señuelo para atraer a los peces que los confunden con gusanos u otros organismos.

A unos 1.300 metros habita el tiburón duende (Mitsukurina owstoni), con un peso de 700 kg es una de las pocas especies que ha habitado la Tierra por más de 125 millones de años. 

A unos 1.800 metros de profundidad pueden encontrarse narvales (Monodon monoceros; fotografía), un cetáceo con un gran cuerno en la parte delantera que le ayuda a cazar comida. En la Europa Medieval, los vikingos ya conocían a esta especia y comercializaban sus cuernos, que hacían pasar por unicornios; animal fantástico con poderes curativos. 

A 2.000 metros de profundidad se puede observar el calamar gigante (Architeuthis), sin duda una de las grandes amenazas de esta aventura. Puede llegar a pesar 700 kg y tiene una dimensión de 10 metros.

A los 3.000 metros puede encontrarse al ballenato de Cuvier (Ziphius cavirostris; en la fotografía). Se trata del mamífero que mayor profundidad y tiempo puede estar sumergido (137 minutos bajo el agua). 

A unos 3.980 metros se encuentra el pecio del Titanic, destino del submarino Titan, hoy desaparecido y que, al final del día, se ha dado por perdido.

Llegando a los 3.600 metros, tenemos la profundidad promedio de todos los océanos. La Fosa de las Marianas es el punto más profundo de los océanos de la Tierra a unos 11.034 metros de profundidad. Se encuentra en el Océano Pacífico. Sin embargo, no es el punto más cercano al centro de la Tierra (ya que nuestro planeta es un esferoide oblato y no una esfera perfecta). 

Fuente bibliográfica

• Estrada, A. (2022). Mi expedición al Titanic parte 2/4; Alan por el mundo. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=gOjJJKld6jY 

Jacob Sierra Díaz y Altair

Una máquina para contar la radiación ionizante

¿Sabías que las Matemáticas nos ayudan a saber si estamos en un lugar radiactivo que puede ser peligroso? A las catástrofes nucleares les sigue un sonido muy característico de un aparato que precisamente cuantifica la presencia de radiación ionizante llamado contador Geiger-Müller, en honor a sus inventores Hans Geiger y Walter Müller (alumno de doctorado de Geiger que le ayudó a perfeccionar el tubo en 1928).

Un contador Geiger-Müller tiene en su interior un tubo lleno de un tipo de gas inerte a baja presión aproximadamente a 0,1 atmósferas. Además, en el centro del tubo se ubica un alambre o electrodo con un voltaje eléctrico. Como su propio nombre indica, el contador Geiger-Müller cuenta la presencia de radiación ionizante que ha pasado por el tubo.

En esencia, el funcionamiento de este dispositivo es relativamente sencillo. Cuando los iones que produce una fuente de radiación ionizante atraviesan el tubo del detector, son acelerados por el campo eléctrico producido por el electrodo del interior, generando un pulso de corriente que se transforma en el chasquido que oímos. Los contadores modernos convierten la cantidad de pulsos (de ahí su nombre de contador, ya que cuenta pulsos eléctricos) que recibe el tubo en una medida y los "traduce" a unidades mejor conocidas y útiles para las personas como la dosis equivalente, en la que la unidad de medida en el Sistema Internacional es el Sievert (Sv). 

En el esquema de la derecha, podremos apreciar un tubo Geiger-Müller. En el momento en que la radiación "entra" en el tubo, el ion golpea las moléculas de gas del tubo, separando los electrones de los átomos (proceso que recibe el nombre de ionización). Entonces, el electrón separado será atraído por la carga efectiva del ánodo y el resto del átomo (ion con carga positiva) es lanzado hacia la pared del tubo. Además, cuando se enciende el aparato, hay un voltaje muy alto dentro del tubo que hace que se ionice el interior, proporcionando una alta sensibilidad a la radiación entrante, ya que esto provocará el pulso eléctrico que es el que se oye en forma de chasquido. Finalmente, el firmware  permite convertir el conteo de pulsos en otras unidades.

Jacob Sierra Díaz y Altair

El quilate

El oro en la tabla periódica se expresa como Au. Tiene una masa atómica de 197,0 y su número atómico (Z) es el 79. Las joyas suelen contener elementos como el oro y la plata. Sí, has leído bien, las joyas "suelen contener". Esto es así porque para hacer una joya, normalmente se usan aleaciones de oro (o plata) con otros metales.

• Una aleación es una mezcla de distintos metales. Esto se hace para conseguir las mejores propiedades de todos ellos en conjunto.

Entonces, para indicar la cantidad de oro que hay en cualquier joya se usa el término "quilate". Un quilate es la veinticuatroava parte (1/24) del peso del objeto. Entonces, cuando, por ejemplo, se dice que una pulsera de oro es de 18 quilates, significa que si dividimos el peso total de la pulsera en 24 partes iguales, 18 serán de oro. El resto de las partes serán de otro tipo de metal. Dicho de otra forma, 18/24 de la pulsera será de oro.

• En definitiva, cuanto más quilates, más oro contiene la joya en cuestión. El número máximo de quilates que puede tener cualquier objeto será 24 (24/24).

Con esta explicación te resultará fácil comprender el siguiente caso práctico: 

• Voy a una joyería y pido un broche de oro. El joyero me enseña uno de 20 quilates. Si el broche pesa 192 gramos, ¿cuántos gramos de oro tiene el broche?

• 20/24 de 192 g = 160 gramos de oro. El resto (32 gramos) está compuesto por otros metales.

Finalmente, cabe destacar que quilate no tiene plural y su abreviatura puede ser kt o C (sin punto final).

Jacob Sierra Díaz y Altair

Las contribuciones de Gaetana

La historia nos demuestra la desigualdad que tuvo el rol de la mujer en el desarrollo científico de la humanidad. Sin embargo, eso no significa que no pocas mujeres aportasen conocimiento tanto a las Ciencias como a las Matemáticas. Sin lugar a dudas, una de esas mujeres matemáticas ilustres fue María Gaetana Agnesi. 

Gaetana vivió en el siglo XVIII. Nació el 16 de mayo de 1718 y en el seno de una familia italiana acomodada. Desde sus primeros años de vida, demostró una gran pasión por las Matemáticas, alcanzando un enorme prestigio para la época y superando los obstáculos que la sociedad le imponía exclusivamente por el hecho de ser mujer. 

Entre sus logros más destacables señalamos la obra Instituciones Analíticas, un libro que incluía cuestiones tan novedosos (para la época) como el cálculo diferencial e integral. De hecho, fue el primer texto que se usó durante más de medio siglo para aprender y conocer estos tipos de cálculos. Curiosamente, Gaetana tuvo que correr con todos los gastos de la edición, aunque mereció la pena ya que fue traducido a muchos idiomas. Pero sin embargo, lo más sorprendente fue que Gaetana empezó a escribirlo por pura distracción.

Dentro de esta obra tan importante para el estudio de las Matemáticas encontraremos lo que hoy es un homenaje de todos los matemáticos a esta gran mujer: la curva de Agnesi (véase siguiente imagen). Aquí debemos destacar otra curiosidad, el nombre de este tipo de línea curva también se le conoce como curva sinusoidal versa. En italiano la palabra "versiera" significa "virar". Sin embargo, por un error de traducción de John Colson (profesor en Cambridge), a la curva se le conoció como "la bruja de Agnesi". Colson confundió el término versiera por "avversiera" que en italiano significa "hechicera" o "bruja". Si bien es cierto que nunca sabremos si se trató de un chiste de mal gusto, un error fatal o un acto con mala intención, Colson reconoció que se decantó por estudiar italiano con el único fin de traducir al inglés el libro de Agnesi para que pudiese ser disfrutado por la población británica.

Más allá de las curiosidades históricas, la curva de Agnesi se construye de una forma particular: se toma una circunferencia y un punto cualquier O sobre ella, siendo T el punto diametralmente opuesto a O. Entonces, para cualquier otro punto  de la circunferencia, la prolongación de la línea secante OA corta a la perpendicular a OT que paso por T en B. La línea paralela a OT que pasa por B, y la línea perpendicular a OT que pasa por A se cortan en P. Por lo tanto, la curva de Agnesi es el conjunto de los puntos P obtenidos al hacer variar el punto A.

Jacob Sierra Díaz y Altair

El diezmo

Las fracciones llevan mucho tiempo entre nosotros. En nuestras vidas cotidianas usamos términos muy comunes como mitad o cuarto. Sin embargo, en la Edad Media (476 - 1492) en España estaban familiarizados con otro término matemático: el diezmo.

El diezmo se trataba de una fracción para indicar los bienes que se debían pagar al señor feudal mensualmente como forma de impuesto. En efecto, el diezmo consistía en pagar la décima parte (1/10) de la cosecha o de las mercancías por recibir protección de los nobles. Entonces, cualquier campesino debía pagar al rey una parte de cada diez de su cosecha o cualquier mercader debía abonar la décima parte de su mercancía en la ciudad en la que iba a vender. 

Así, por ejemplo, si eras mercader de frutas y verduras que iba a un castillo con 50 melones, el diezmo que debías pagar para comerciar era de 5 melones (una décima parte de 50; 50/10 o el 10% de 50).

Jacob Sierra Díaz y Altair

El signo de la multiplicación

Uno de las nociones que solemos aprender en Matemáticas cuando comenzamos la etapa de Educación Secundaria (y que suele coincidir con la introducción al álgebra) es la de cambiar el signo de multiplicar en forma de aspa (x) por un punto (·). Esto es algo muy lógico, ya que en álgebra la letra x de incógnita se puede confundir con el operador x.

Lo cierto es que las multiplicaciones se ha ido representando a lo largo de la historia de muchas maneras distintas. Se podría decir que cada cultura tenía su forma particular de expresar las multiplicaciones, como por ejemplo, colocando un espacio en blanco entre los números.

En el año 1631, el matemático inglés William Oughtred introdujo el signo x con forma de aspa para indicar las multiplicaciones, en honor a la Cruz de San Andrés. Esto evitaba la confusión de que el espacio en blanco fuese en realidad una separación natural entre números y no una operación. A este clérigo anglicano también le debemos las abreviaturas sin para la función del seno y cos para la función del coseno. Ampliamente usadas a día de hoy en las calculadoras científicas. Volviendo a la multiplicación, cuando se hacía álgebra con este signo, teníamos una confusión de entender si la x hacía referencia a la incógnita o al signo matemático del que estamos hablando.

Este problema se solventó rápidamente en el año 1689, cuando el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz propuso el signo ·, reservando la x para la incógnita. Pero entonces, ¿qué símbolo tendremos que usar? ¿cuál es el más adecuado? En honor a estas dos valiosas aportaciones, se aceptan los dos símbolos para indicar multiplicaciones. En esencia, se reconoce que es un símbolo no es mejor que el otro. Normalmente, en aritmética usamos el signo propuesto por Oughtred (x), mientras que en álgebra empleamos el de Leibniz (·).

Jacob Sierra Díaz y Altair

La flor del azar

Una de las palabras más importantes de la Probabilidad es azar. Esta palabra viene del término árabe "zahr", que significa flor. En concreto, los árabes usaban la palabra "al-zahar" para hacer referencia a la flor del naranjo, que es muy similar a nuestra palabra azahar.

Pero, ¿qué tiene que ver la palabra azar con una flor? Hace muchos años, entre los árabes existía un juego en el que se lanzaba un dado que tenía una flor de un naranjo pintada en una de sus caras. Al ser imposible determinar si saldría la flor o no, este nombre derivó en nuestro concepto moderno de azar.

En función del juego, la flor del azahar sería la puntuación más alta, mientras que para otras culturas este lado era sinónimo a mala suerte. Los árabes no fueron los únicos que estudiaron los juegos de azar. Por mencionar brevemente personas ilustres de este campo, destacamos a Galileo Galiei (quien realizó estudios sobre los dados), Blaise Pascal o Pierre Fermat. Lo que está claro es que no se puede decir que el estudio del azar ya se acabó hace tiempo. A día de hoy, surgen estudios y teorías para analizar el azar en cualquier aspecto de nuestras vidas. 

Jacob Sierra Díaz y Altair

Las matemáticas de los icebergs

Nos remontamos a principios del siglo XX, cuando los europeos buscaban nuevas oportunidades en el continente americano. Esto hizo que se necesitasen barcos trasatlánticos más modernos. En el año 1907, la Cunard Line, una naviera británica, pone en funcionamiento los barcos Lusitania y Mauritania. Eran los buques más modernos de la época y contaban con telégrafo, grandes salones, ascensores y cómodos camarotes.

Ese mismo año, en una casa de Londres (que hoy es la Embajada de España en Reino Unido) el presidente de la White Start Line planteó la idea de construir tres cruceros modernos superiores a la competencia cuyo nombres fueron: Olimpic, Britannic y Titanic. La construcción del famoso barco Titanic comenzó en los astilleros de Harland & Wolff en Belfast a partir del año 1909 hasta el 1912. Pero esta no es la historia del Titanic, sino la historia de su iceberg.

El 10 de abril de 1912 el Titanic zarpó desde Southampton en su primer y último viaje. En ese mismo año, a más de 350 kilómetros de distancia en Groenlandia, el iceberg que chocó con el famoso barco comienza su viaje a la deriva, tomando la potente corriente marítima del oeste de la isla a una velocidad de unos 20 kilómetros al día.

• Un iceberg es una gran masa de hielo que se desprende de las zonas polares y se desplaza por los océanos empujados por las corrientes marítimas. Son como los cubitos de hielo de nuestros mares y océanos. Suponen un grave peligro para los barcos (como en el caso del Titanic).

• Los icebergs se desplazan debido a las corrientes marítimas. En las costas occidentales de Groenlandia hay una corriente fría llamada Corriente de Labrador que tienen aguas del frío océano glaciar ártico y el ascenso de aguas profundas cerca de Groenlandia. Aquí, las aguas se dirigen a la superficie de este a oeste debido a los vientos predominantes del este (por la rotación terrestre) y la menor fuerza centrípeta de las aguas superficiales. Debido a la Corriente del Labrador se pueden encontrar icebergs en latitudes relativamente bajas (Truniger, 2014).

Todos conocemos el destino fatal del Titanic a causa del iceberg que se muestra en la fotografía lateral, tomada 24 horas después del hundimiento del Titanic por Prinz Adalbert. Sin embargo, no sabemos a ciencia cierta si este fue el iceberg que realmente chocó con el Titanic o si se trata de otro similar que también estaba en la zona. La noche del 14 de abril de 1912 se presentó extrañamente tranquila, ya que estando el mar en calma no se podría distinguir el anillo que forman las olas cuando chocan contra los icebergs.

Si estudiamos las características de los icebergs, nos daremos cuenta que están llenos de hielo... ¡y matemáticas! En concreto, podemos estudiar los icebergs como números decimales o porcentajes. Así mismo, podemos calcular el porcentaje que queda al descubierto por encima del mar y el que queda sumergido del iceberg con la siguiente sencilla regla.

La característica principal de un iceberg es que no podemos ver todo su tamaño en la superficie. Es decir, que de cada 100 partes de su tamaño total, aparecen solamente 10 a la vista. Lo que significa que, si por ejemplo un iceberg fuese como un edificio de 20 metros de altura, solo veríamos sobre el agua una altura de 2 metros. 

• Entonces, vemos una décima parte (1/10) del total del iceberg en la superficie. Dicho de otro modo, vemos el 10% del iceberg.

Así, esta relación entre la parte visible y la parte oculta del iceberg será siempre igual independientemente de su tamaño o forma. Entonces, aplicando la regla anterior de 1/10, si un iceberg fuera como un edificio de 30 metros de altura ¿cuántos metros estaría por encima del agua?

Fuente bibliográfica

• Truniger, O. (2014). Titanic al detalle - Documental completo. Recuperado de https://mundotitanic.com

Jacob Sierra Díaz y Altair