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viernes, 25 de diciembre de 2020

Agrupaciones por intervalos

Con el fin de facilitar el análisis y la interpretación de los datos, los datos de una variable se pueden agrupar por intervalos. No obstante, esta práctica está en desuso debido a que la estadística ya se hace con ordenadores.


1.- Conceptos básicos

Un intervalo son dos valores de una variable cuantitativa separados por un guión y abarcados con corchetes y/o paréntesis. Por ejemplo, [5 - 10], (1 - 3), [45 - 47), (56 - 78] ...

  • Los corchetes incluyen al valor en el intervalo. Por ejemplo, en el caso del intervalo [5 - 10) el 5 está incluido en este intervalo. 
  • Los paréntesis excluyen al valor en el intervalo. Por ejemplo, en el intervalo [5 - 10) el 10 no está incluido en el intervalo.

Los dos valores del intervalo se llaman extremos de clase. En cada intervalo hay un límite inferior y un límite superior. En el ejemplo [5 - 10) el límite inferior es 5 y el superior es 10. 

La marca de clase es el punto medio del intervalo y se calcula en cada intervalo con la siguiente fórmula: (Límite inferior + Límite superior) / 2. En el ejemplo [5 - 10) la marca de clase es 7,5 porque (5 + 10) / 2 = 7,5

Llamamos amplitud o tamaño del intervalo a la resta del límite superior menos el límite inferior. En el ejemplo [5 - 10) la amplitud es 5 porque 10 - 5 = 5.


2.- Diseño de intervalos

Normalmente los intervalos no se construyen bajo el criterio del investigador, sino bajo un criterio matemático. En este epígrafe veremos las dos fórmulas principales que podremos usar para saber el número de intervalos que tendremos y su amplitud recomendable.

1) Para saber el número ideal de intervalos k que podremos hacer se recomienda usar la fórmula de Sturges (1926).

No obstante, existe otro criterio para establecer el número ideal de intervalos: criterio de Kaiser. Se trata de la raiz cuadrada del número total de observaciones.

2) Para saber la amplitud que tendrán nuestros k intervalos se recomienda aplicar la siguiente fórmula:


3.- Guía para llevar a casa

Haz clic en el siguiente enlace para acceder desde la nube de Box la guía sobre los agrupamientos por intervalos. Puedes leerla en línea o descargarla en tu dispositivo en formato PDF.

Guía de Agrupamientos por Intervalos (Clic aquí para acceder)


En ella podrás aprender a expresar un intervalo cualquiera matemáticamente, conocer el concepto de amplitud variable y constante, o ver un ejemplo práctico de las dos sencillas fórmulas para construir intervalos.



Fuente bibliográfica

  • Sturges, H. (1926). The choice of a class-interval. Journal of American Statistical Association, 21, 65-66.


Sigma y Jacob Sierra Díaz

domingo, 20 de diciembre de 2020

Tablas de distribución de Frecuencias

Una de las técnicas más básicas para resumir datos consiste en agrupar las distintas observaciones en cada una de las categorías correspondientes y reflejarlas en una tabla. A esas tablas se les conoce como tablas de distribución de frecuencias.  


1.- Tipos de tablas de distribución

Podemos distinguir tres tipos de tablas en función del tipo de variable con la que estemos trabajando (variable cualitativa o cuantitativa). La diferencia de cada una de ellas radica en la primera columna que corresponderá con las categorías o modalidades de la variable. 

Si las categorías de esta primera columna contienen palabras, estamos ante una tabla de distribución de una variable cualitativa. Si, por el contrario, contiene valores numéricos, estamos ante una tabla de distribución de una variable cuantitativa. A su vez, las variables cuantitativas se pueden agrupar en intervalos; por lo que diremos que estamos ante una tabla agrupada.




2.- Elementos de una tabla de distribución

Una tabla de distribución de frecuencia tiene básicamente cinco columnas. No obstante, también puedes encontrarte tablas que incluyan más información.

En la primera columna, se reflejan las categorías, valores o modalidades de la variable. 

En la segunda columna, se incluyen las frecuencias que tiene cada una de las categorías de la variable observadas en la muestra. A este valor se le llama oficialmente frecuencia absoluta ni (xi o ii en función de la naturaleza de la variable). 
  • La suma de todas las frecuencias absolutas nos da la frecuencia total n o el número total de participantes de la muestra.

En la tercera columna, se muestra la frecuencia relativa fi o fr. Esta es la división entre la frecuencia absoluta (de cada categoría) entre el número total de la muestra.

  • La suma de esta columna deberá de dar 1.
  • Podemos calcular el porcentaje de individuos pi de cualquier categoría o valor multiplicando la frecuencia relativa fi por 100.

En la cuarta columna, se refleja la frecuencia absoluta acumulada Ni. Esta es la suma de las frecuencias absolutas anteriores hasta una categoría dada.
  • El último valor debe coincidir con el número total de la muestra.

Finalmente, la quinta columna, incorpora la frecuencia relativa acumulada Fi. Esta es la división de la frecuencia acumulada entre el número total de individuos de la variable.

  • El último valor debe dar 1.


3.- Guía para llevar a casa

Para conocer en profundidad cómo se elabora una tabla de distribución de frecuencias, puedes hacer clic en el siguiente enlace. Puedes leer o descargarla la guía en tu dispositivo.


En esta guía aprenderemos conceptos generales, descubriremos las fórmulas detrás de las tablas y analizaremos paso a paso cómo diseñar una tabla de distribución a través de un caso práctico. ¿Aún así tienes dudas? ¡No hay problema! No olvides que también puedes escribir un comentario aquí si tienes alguna duda sobre este apasionante tema.




4.- Ejemplo práctico

Mediante una encuesta por teléfono se ha obtenido información del nivel de estudios a 120 personas. Esta variable tiene cuatro categorías: sin estudios, Primaria, Secundaria y Universitario.

Para presentar los datos, se ha elaborado una tabla de distribución de frecuencias:




Sigma y Jacob Sierra Díaz

domingo, 4 de octubre de 2020

La estrategia detrás de Hundir la Flota

Hundir la flota, también llamado Batalla Naval o Los Barquitos (en inglés Battleship) es un juego de mesa clásico para dos participantes. Como curiosidad, la película de 2012 titulada Battleship se basó originalmente en este juego.

Este juego ha ido evolucionando a lo largo del tiempo. Hemos pasado de sistema de registro a lápiz y papel a aplicaciones digitales en la que es posible competir con otros jugadores alrededor del mundo. El objetivo del juego principalmente es identificar la posición de todos los barcos del contrincante. Gana el jugador que primero haya hundido la flota rival.

Lo cierto es que el juego es muy sencillo de aprender. Además, recomendamos su juego por la transferencia que tiene a los sistemas de coordenadas cartesianas (x,y) tan importante en Matemáticas. Sin embargo, hoy nos vamos a centrar en el aspecto estratégico y táctico del juego. ¿Realmente existe alguna estrategia que podamos adoptar en el juego? 


Como ya lo habrás intuido, necesitamos recurrir a una rama de las Matemáticas para tratar de ganar el juego: la Probabilidad. Si bien, las estrategias no funcionan en el cien por cien de los casos, pueden ser muy útiles para ganar a nuestro rival. Sobretodo si este no usa ninguna estrategia. Entonces, en primer lugar, vamos a ver qué decisión puede ser la más inteligente a la hora de colocar nuestros barcos antes de comenzar la partida. En segundo y último lugar, vamos a tratar de averiguar cuál es la mejor manera de lanzar las coordenadas de ataque. ¡Todos a sus puestos de combate!


- Posición de la flota (previo al juego)

Existen 30.093.975.536 formas distintas de ubicar los barquitos en el tablero del océano. Lian Brown, junto con muchos otros expertos, elaboraron un mapa de calor sobre las casillas más atacadas. 


Fíjate cómo las casillas que estadísticamente son las más atacadas se ubican en el centro. Por lo tanto, debemos tratar de evitar colocar tus barcos en las casillas más populares o susceptibles de ser atacadas ya sea por su ubicación o por el mero azar.

  • Trata de colocar tus barquitos separados unos de otros. Si por algún motivo tocan un barco que está junto con otro, lo más seguro es que lo hundan.
  • Ubica algunos de tus barcos en los laterales del tablero. Como acabas de ver, estadísticamente es más probable que los tiros (por lo menos los primeros) vayan al centro del tablero que en los bordes.
    • Trata de colocar tus barcos de una manera "poco convencional". Esto hará confundir un poco a tu rival. Puedes probar a cambiar la orientación de algunos barco o, dependiendo del jugador que tengas en frente, puedes mantener la misma orientación de todos tus barquitos (todos en horizontal o todos en vertical). Recuerda que suele ser recomendable ubicar algunos en los bordes. 
    • Nunca pongas dos barquitos contiguos. Trata de separarlos por lo menos una casilla. Esto es debido a que si tocan en esa zona, el rival puede hundir ambos con relativa facilidad. Aunque también es cierto que puede darse el caso de que si ha hundido un barquito (sin tocar el otro), piense que en los alrededores no hay otro y, por lo tanto, se centre en otro sector.



- Disparos a la flota enemiga (durante el juego)

Como ya sabes, el juego se compone de 10 filas y 10 columnas. Esto quiere decir que se pueden disparar un máximo de 100 veces por partida y jugador. La estrategia básica que debemos seguir como atacantes es la de tratar de neutralizar el mayor espacio posible con un número pequeño de disparos. A estas alturas ya estarás pensando que no es muy buena estrategia disparar al azar. En efecto, se recomienda una planificación previa de los disparos.

Ten en cuenta esta regla de oro: es posible neutralizar todo el tablero con solo 50 disparos. Según varios estudios realizados con ayuda de un ordenador que calculaba las probabilidades de una cantidad significativa de partida determinaron que lo mejor es realizar tiros en diagonal, tal y como se muestra en la siguiente imagen. 



Como puedes ver, hemos identificado la posición concreta de los barcos enemigos usando 50 disparos. Llegados a este punto no será muy complicado hundir los barcos. Esta estrategia es muy efectiva cuando estamos ante jugadores que lanzan sus disparos sin ninguna planificación previa, es decir, al azar. Pero también es justo decir que posiblemente se necesitarán menos disparos (siguiendo este método) para hundir toda la flota. Ahora bien, la cuestión ahora es saber por dónde empezar. 

  • Si sospechamos que el jugador ha colocado sus barcos por el centro, recomendamos empezar a disparar en la diagonal comprendida en la posición A-10 y J-1 (o 10-A y 1-J dependiendo en los ejes en los que se encuentre las letras y los números). Es decir:

    • Con esto ya habremos divido el tablero por la mitad. Ahora, recomendamos dividir cada parte en dos, por ejemplo usando la diagonal A-2 e I-10 (o 2-A y 10-I) tal y como muestra la flecha azul de la imagen de arriba.
    • Y así sucesivamente, es decir, iremos dividiendo cada parte de los sectores en dos hasta que toquemos un barco enemigo.

Otra estrategia muy interesante, aunque no tan efectiva como la anterior, puede ser la de disparar formando cuadrados cada vez más pequeños o más grandes tal y como se refleja en la siguiente imagen.


  • Si usas esta estrategia de disparo, te recomendamos que empieces por las coordenadas B-2, I-2, B-2 y B-9 (o 2-B, 2-I, 9-B o 9-I dependiendo de tu juego).



En tu mano queda ahora usar estos u otros consejos para ganar tu próxima batalla naval. Recuerda que no existe una estrategia mágica o truco que siempre sea efectivo. De hecho, es probable que aplicando estos consejos puedas perder tu partida. Pero ahí está la gracia del juego. ¿Qué sentido tiene ganar siempre? No olvides que también puedes dejar en comentarios la forma en la que juegas a este conocido juego de mesa.



Jacob Sierra Díaz

viernes, 4 de septiembre de 2020

Direcciones de Casiopea

Casiopea (Cassiopeia) es una de las constelaciones más reconocibles del hemisferio norte. En la mitología, Casiopea es la mujer de Cefeo (que también es una constelación). Se trata de una constelación circumpolar. Esto significa que siempre está presente durante todas las noches del año en los cielos con latitudes superiores a los 40º. Los nombres de las estrellas que forman la famosa W son: Caph, Shedar, Cih o Navi, Ruchbah y Segin. La constelación está en el ecuador galáctico. De ahí que posea múltiples cúmulos abiertos como M 103 o M 52. Casiopea es ideal para encontrar otras constelaciones a su alrededor mucho menos intuitivas.


Encontrar a Casiopea

De acuerdo con Henarejos (2009), Casiopea se encuentra por encima de la Osa Mayor a unos 65º aproximadamente. Para encontrarla, partiendo de la Osa Mayor, debemos prolongar la longitud aproximada entre Megrez (en la Osa Mayor) a la Estrella Polar (en la Osa Menor) hacia el Este hasta ver una estrella brillante que está en el medio de la W de Casiopea (Cih, también conocida como Navi). En la siguiente imagen se muestra la posición de Casiopea partiendo de la Osa Mayor pasando por la Estrella Polar en la Osa Menor.




Orientarse en el cielo con Casiopea

Por desgracia, Casiopea no ofrece "buenas" alineaciones con otras constelaciones u estrellas características. No obstante, no deja de ser un buen punto de partida para localizar las constelaciones vecinas. Con Casiopea podremos llegar a Andrómeda, Pegaso, Lagarto, Cisne (y Triángulo de verano), Perseo, Cefeo, Dragón, Osa Menor y Osa Mayor.
  • Prolongando la línea Cih o Navi y Schedar de nuestra constelación de partida dirección este llegamos a Alpheratz en Andrómeda. Esta es la estrella más brillante del Cuadrado de Pegaso. Por otro lado, tal y como podemos contemplar en la siguiente imagen, si bajamos a mitad del recorrido nos toparemos con la famosa galaxia de Andrómeda (M 31).


  • En las noches de verano, partiendo de Caph, que está al lado extremo derecho de la W, en línea recta dirección este nos encontraremos con una estrella muy brillante llamada Deneb en la constelación del Cisne.Esta estrella es uno de los vértices del famoso Triángulo Estival (formado por las constelaciones Lira y Águila). Aproximadamente a mitad del recorrido está la constelación Lagarto. 


  • Prolongando la línea Cih (o Navi) y Ruchbah dirección norte llegaremos a Miram en la constelación de Perseo.


  • Encima de la W nos encontraremos a Cefeo y el Dragón (al lado de la Osa Menor).




Referencias bibliográficas

Todos los gráficos han sido extraídos del software Stellarium Web.
  • HENAREJOS, P. Observación del cielo: guías de bosillo. Madrid: TIKAL ediciones, 2009. 254 pp. ISBN: 978-84-305-5889-6.

Jacob Sierra Díaz


martes, 1 de septiembre de 2020

Septiembre (2020): el cielo del mes

Llega septiembre. Para muchos un mes con encanto y para otros un mes que nunca deseas que llegue, sobre todo si eres estudiante :). Pero el cielo no para de dar vueltas. ¿Qué espectáculos nos esperan este mes? Este es el calendario astronómico con las citas más importantes durante las noches de septiembre.


Uno de los eventos más especiales de este mes será la ocultación de Marte con la Luna el día 6. Por desgracia, solo será visible en las Islas Canarias (y tal vez en el Sur de la península). Por otro lado, no olvides que el día 22 de septiembre comenzamos la estación de otoño. Astrononómicamente hablando, pasaremos por el equinoccio. Esto significa que el día y la noche durarán lo mismo (12 horas).


Haz clic en el siguiente enlace para descargar la guía completa de este mes. Recuerda que también puedes acceder a ella en la página de AstroCuenca.

Guía del cielo de Septiembre (2020) [Clic aquí para acceder]


¡Buenas noches y buenos cielos!


Jacob Sierra Díaz y AstroCuenca

viernes, 21 de agosto de 2020

SOLUCIÓN. Sopa de sílabas

El desafío nos pedía construir nueve palabras con las sílabas que hay en la sopa teniendo en cuenta que debíamos poner una sílaba nueva en medio de la palabra. Con esas sílabas debíamos formar el nombre de un animal. Puedes volver a leer este enigma haciendo clic en el siguiente enlace:

Sopa de sílabas (Enigma) [Clic aquí para leer el enunciado]


Veamos, entonces, qué palabras se esconden en la sopa de letras y cuál es el animal perdido. Vamos a dividir las palabras en tres grupos: gris, azul y verde. En cada uno de los grupo deberemos poner una sílaba nueva, que se repetirá en las palabras y siempre será la sílaba central.

En el primer grupo tenemos: pescado, mascarón y arcada. La sílaba central nueva que debemos poner en cada palabra es "-ca-". En el segundo grupo tenemos: lametón, comedor y remesa. La sílaba central es "-me-". Finalmente en el tercer grupo tenemos: chillona, sollozar y velloso. Su sílaba central es "-llo-". El animal oculto, mamífero, es camello.


Fuentes bibliográficas

Este enigma ha sido basado de un pasatiempo del libro:

  • ZINET MEDIA. Activa tu cerebro con más de 150 pasatiempos. Madrid: Anders Producciones S.L. 2020. 175 pp.

Jacob Sierra Díaz

miércoles, 19 de agosto de 2020

Sopa de sílabas

En la siguiente sopa de sílabas hay 18 sílabas. Con esas sílabas debes formar 9 palabras de tres sílabas. Para formar las palabras debes usar una sílaba nueva que no está en la sopa. La sílaba nueva que debes pensar se ubica en la mitad de cada palabra (sílaba central). Además, esa sílaba nueva se repite en tres palabras distintas (y siempre en la sílaba central).

Cuando tengas las 9 palabras formadas debes unir las sílabas nuevas (sin repetirlas) para formar el nombre de un animal.

¿Cuáles son las nueve palabras? y ¿Cuál es el nombre de ese animal? 

¡Buena suerte!


Solución al enigma

Si estás aquí y aún no has podido resolver el enigma, por favor, lee las siguientes pistas y trata de responder las respuestas antes de hacer clic en el enlace de la solución. Las pistas se dividen en tres niveles de facilidad:

Pista básica: se trata de un mamífero.

Pista intermedia: recuerda, solo debes introducir tres sílabas nuevas. Estas empiezan por las letras L-, M- y C-.

Pista avanzada: dos de las sílabas que debes introducir son CA y LLO.


¿Quieres saber, por fin, qué palabras y quÉ animal se esconde en esta apasionante sopa de sílabas? Pues haz clic en el siguiente enlace para acceder a la solución del enigma:



Jacob Sierra Díaz