(1) Cálculo de probabilidades en la distribución normal

Hoy vamos a plantear un problema de cálculo de probabilidad de una distribución normal no estándar. Recuerda llamamos distribución normal estándar a la N(0,1), que tiene media 0 y desviación típica 1.

1.- Planteamiento del problema

Supongamos que el peso (en kg) de la población de un determinado distrito de una ciudad grande describe una distribución N(80,14). Queremos saber el porcentaje de esa población que pese menos de 90 kg.

Si quieres saber cómo se resuelve este problema, continúa leyendo. Te animamos a que intentes resolverlo antes de consultar abajo la solución.

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2.- Procedimiento y solución

Sabemos que N(µ,σ) se trata de una distribución normal. Automáticamente, nos debe venir a la cabeza la forma que tiene la curva o campana de este tipo de distribuciones. En este caso, queremos saber el área que queda bajo esa curva hasta el valor 90.

• Lo primero que debemos hacer es tipificar o estandarizar los valores. Tipificar es transformar la variable de nuestro problema (peso, en este caso) en su equivalente de distribución normal estándar N(0,1). Es decir, debemos "traducirla" para así, poder consultar su valor.

• Tipificar significa obtener el valor Z mediante la siguiente fórmula donde X es el valor límite que me dicen en el enunciado (90), µ es la media de nuestra distribución (80) y σ es la desviación típica (14).

• Una vez que tenemos el valor Z ya puedo recurrir a la tabla de probabilidad de la distribución normal estándar, sabiendo que en la primera columna tengo que buscar el valor 0,7 y en la primera fila el valor ,01. La tabla me da el valor 0,7611.

• Si multiplicamos por 100 el valor de la tabla obtendremos el porcentaje que nos piden: 0,7611 * 100 = 76,11%

SOLUCIÓN. El porcentaje de la población del distrito de la ciudad que pesa menos de 90kg es 76,11%.

3.- Comprobación

Este se problema se puede comprobar o incluso realizar con el programa estadístico avanzado R. Para ello, tendremos que poner la función pnorm(x,µ,σ) junto con los valores del problema pnorm(90,80,14). Pero nos damos cuenta que no es el valor que hemos obtenido anteriormente en la tabla. En efecto, al usar un programa estadístico, tendremos un valor más exacto que si usamos las tablas de distribución ya que nuestra Z, en este caso, la hemos calculado como 0,71 y no como 0,714.

Sigma y Jacob Sierra Díaz

Sumatorio o Sigma

Este símbolo ∑ es una letra griega que se llama Sigma (mayúscula). Sigma es una letra que se emplea en el lenguaje matemático para indicar una suma de muchos o infinitos sumandos. En términos matemáticos se le conoce como sumatorio, sumatoria o incluso notación Sigma. Es muy habitual en fórmulas estadísticas (p. ej. la media aritmética) y otras disciplinas aplicadas. 

Date cuenta que el símbolo ∑ no va solo, en muchas ocasiones tiene "algo" encima y abajo. Sencillamente, se trata del valor inicial (abajo) y el valor final (arriba), acompañado de la variable.

En esta ocasión, siempre se debe cumplir que i sea ≤ (menor o igual) que k.

 

En otras ocasiones, los límites están al lado de la letra Sigma (y no encima ni debajo), como en el ejemplo que veremos a continuación. Esto no implica ningún cambio de propiedades o conceptos, se trata de economía de espacio. Por otro lado, conviene destacar que en muchas otras ocasiones se suele usar n en lugar de k, pero ambas letras indican lo mismo: valor final (de la suma).

Cuando Sigma se presenta sola, es decir, no se anotan sus límites ni arriba ni abajo, significa que abarca la totalidad de sus valores; los cuales, dependiendo de la variable objeto de suma, podrán llegar a ser infinitos.

¡Piérdele el miedo a Sigma la próxima vez que la veas en una fórmula! Este símbolo tan bonito, por cierto, solo viene a decir que se deben sumar los valores. Por ejemplo, si yo quiero expresar la suma de los siete primeros números naturales puedo hacer: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Pero también puedo usar Sigma indicando el valor inicial y el valor final.
 

Ahora ya sabes de dónde viene el nombre de nuestra mascota de Mundo Matemático en Enigmáticamente.

Sigma y Jacob Sierra Díaz

Dibujar la Distribución Normal Estándar con R

La Inferencia Estadística se construyó en el siglo XX suponiendo que la mayoría de fenómenos observados en la naturaleza describían una Distribución Normal. Sin ánimo de entrar en fórmulas, cabe destacar que la distribución normal depende de dos parámetros: la media poblacional (μ) y la desviación típica poblacional (σ). Cuando esta distribución normal tiene media 0 y desviación típica 1 se la denomina Distribución Normal Estándar. Hoy vamos a ver cómo se puede graficar esta distribución en el programa R.

Digamos que en realidad existen dos formas de obtener la siguiente campana de Distribución Normal Estándar (de media 0 y desviación típica 1).

Primera forma (sencilla con dos líneas)

(0) Abrimos el programa R en nuestro ordenador.

(1) Vamos a especificar los datos del eje de abscisas. Lo primero es buscar un nombre. Lo vamos a llamar, por ejemplo, x. A continuación deberemos poner < y - seguido de seq junto con la apertura del paréntesis [sec(]. Ahora, debemos especificar la longitud de la campana. En nuestro caso, queremos que vaya de -4 a 4. Por último, debemos escribir len=100 y cerrar el paréntesis.

> x <-seq(-4,4,len=100)

(2) Ahora, debemos poner la función plot(). Dentro de esta función debemos hacer referencia a la x (introducida anteriormente, puede ser cualquier otra denominación), seguido de la función dnorm() incluyendo el nombre anteriormente dado. A continuación debemos escribir type="l" (ele en minúscula), el color usando códigos o el nombre en inglés entre comillas, el grosor de la curva y el nombre del eje de ordenadas. En nuestro caso, no queremos poner nombre en dicho eje. Por lo tanto pondremos "_". Aquí, _ representa un espacio.

> plot(x,dnorm(x),type="l",col=4,lwd=2,ylab=" ")

> plot(x,dnorm(x),type="l",col="blue",lwd=2,ylab" ")

Segunda forma (tres líneas)

(0) Abrimos el programa R en nuestro ordenador.

(1) Vamos a especificar los datos del eje de abscisas. Lo primero es buscar un nombre. Lo vamos a llamar, por ejemplo, X. A continuación deberemos poner < y - seguido de seq junto con la apertura del paréntesis [sec(]. Ahora, debemos especificar la longitud de la campana. En nuestro caso, queremos que vaya de -4 a 4. A diferencia de la anterior forma, pondremos from=-4,to=4. Por último, debemos escribir length.out=100 y cerrar el paréntesis.

>  X<-seq(from=-4,to=4,length.out=100)

(2) Ahora, debemos especificar la función f(X). Lo primero, como antes, es buscar un nombre. En nuestro caso, f.X. Aquí debemos especificar la distribución normal, la cual es dnorm(). Especificamos el nombre anterior (X) y ponemos mean=0 y sd=1. Todo esto, dentro de los paréntesis de la función.

> f.X <-dnorm(X,mean=0,sd=1)

(3) Por último, debemos poner la función plot(). Dentro de esta función debemos hacer referencia a lo anterior (X y f.X), seguido de los argumentos type="l" (ele en minúscula), el color (usando códigos o el nombre en inglés entre comillas) y el grosor de la curva. En nuestro caso, será de 2 puntos.

> plot(X,f.X,type="l",col="blue",lwd=2)

Date cuenta que esta vez, sí que nos ha nombrado el eje de ordenadas.

Sigma y Jacob Sierra Díaz

El objetivo de la Inferencia Estadística

La Estadística en general se usa para obtener conclusiones de una o varias variables que se observan. Normalmente solemos dividir esta apasionante rama de las Matemáticas en dos grandes campos: la Estadística Descriptiva y la Estadística Inferencial. Hoy vamos a conocer la importancia de la Inferencia Estadística en la obtención de dichas conclusiones.

Debemos de partir de la idea de que es imposible observar o medir a todos los sujetos que componen una población. Por ejemplo, sería imposible o muy poco práctico medir el peso de todos los bebés de 5 meses que hay en el mundo para obtener conclusiones sobre esa muestra, en este caso, sobre el peso. Entonces, lo que se hace en su lugar es observar los datos de una muestra extraída al azar de la población objeto de estudio y, mediante la Inferencia Estadística, podremos extrapolar (o no) los resultados obtenidos en esa muestra a toda la población.

Lo que realmente haremos es tratar de conocer o, mejor dicho, estimar la media población (parámetro) partiendo de la media muestral obtenida (estimador) para valorar la magnitud del efecto de dicha variable. Pero ahora bien, la muestra debe ser representativa de la población y para ello, se debe extraer (la muestra) de forma aleatoria.

En este punto entra en juego dos conceptos muy importantes que ya hemos introducido arriba entre paréntesis: parámetros y estimadores. 

• Los parámetros son los valores de la variable objeto de estudio de la POBLACIÓN. Por supuesto, este valor es desconocido ya que es la cantidad numérica calculada sobre toda la población. 

• Los estimadores son los valores de la variable objeto de estudio de la MUESTRA. Esta nos sirve para acercarnos o, dicho de otro modo, estimar los valores de los parámetros y, así, obtener conclusiones válidas de la población.

En definitiva, el objetivo de la Inferencia Estadística es la de estimar valores de los parámetros usando estimadores o estadísticos procedentes de una muestra representativa de la población.

Sigma y Jacob Sierra Díaz

¿Cómo "funciona" la Desviación Típica realmente?

La Desviación Típica es una medida de dispersión muy empleada cuando se da la media aritmética de una variable. Esta medida es "prima-hermana" de la varianza, ya que se calcula a través de esta. Hoy vamos a ver un ejemplo práctico para entender cómo funciona la Desviación Típica.

Hemos cogido cinco personas y hemos medido su estatura en centímetros. Estos son sus valores:

120        118       111       122      183

Para calcular la desviación típica de estos datos tendremos que calcular previamente la media aritmética y la varianza. Para ello, vamos a seguir los pasos que propone Rowntree (2018).

1.- En primer lugar, vamos a calcular la media aritmética, la cual es la suma de todos los valores partido por el número total de individuos que componen la observación (la muestra, n). 

(120 + 118 + 111 + 122 + 183) / 5 = 130,8

2.- Ahora, vamos a ver cómo los valores anteriores difieren de nuestra media 130,8. Para ello, vamos a ordenar las observaciones de menor a mayor. A continuación, simplemente restaremos a cada observación el valor de la media aritmética.

3.- Si cogiésemos la media de las desviaciones tal cual, las medidas positivas se contrarrestarían con las medidas negativas. Por ese motivo, elevamos al cuadrado cada desviación y así nos desharemos de los signos negativos.

4.- Ahora tenemos que recurrir al cálculo de la varianza. La varianza es la media de las desviaciones elevadas al cuadrado respecto a la media aritmética del conjunto.

Varianza = (392,04+163,84+116,64+77,44+2724,84) / 5 = 694,96

5.- La varianza tiene un problema y es que los valores están en unidades (por ejemplo, centímetros) y, por lo tanto, la varianza elevará al cuadrado esas unidades (por ejemplo, centímetros al cuadrado). Entonces, necesitamos una medida que devuelva las mismas unidades originales. ¡Aquí entra en juego la Desviación Típica!, la cual es la raíz cuadrada de la varianza.

Ahora bien, si pasamos estos datos a un paquete estadístico, por ejemplo R, nos daremos cuenta que la varianza y desviación típica no coinciden con nuestros resultados. Esto es devido a que muchos paquetes estadísticos realmente calculan lo que se denomina la cuasivarianza y la cuasidesviación típica (García-Pérez, 2015). La principal diferencia entre la varianza y la cuasivarianza es que en el denominador habría que poner n-1. Es decir, en nuestro caso dividiríamos entre 4. Si lo hiciésemos así, obtendríamos 838,7 y nuestros datos coincidirían con los resultados del programa.

- Cálculo de los datos usando el programa estadístico R.

Este es el "funcionamiento básico" de la Desviación Típica. Por supuesto, para ilustrar el ejemplo hemos usado un ejemplo sencillo, y tal vez algo irreal. Pero, independientemente de la cantidad de datos que tengamos, el proceso es igual.

Fuentes bibliográficas

• García-Pérez, A. (2015). La interpretación de los datos: una introducción a la Estadística Aplicada. Editorial UNED.

• Rowntree, D. (2018). Statistics without Tears: an introduction for non-matematicians. Penguin Books.

Sigma y Jacob Sierra Díaz

La "gran" ley de los grandes números

En el año 1713 se publicó un libro que se titulaba Ars Conjectandi (El arte de hacer conjeturas). En este libro aparecía por primera vez la demostración de la Ley de los Grandes Números propuesta por Jacob Bernoulli (1654-1705).

La Ley de los Grandes Números es en realidad un teorema de probabilidad que describe la estabilidad a largo plazo de una variable aleatoria. Es decir, cuando el número de observaciones de un experimento aleatorio es muy grande, la aparición porcentual de un resultado será muy cercana a la probabilidad del resultado.

• Por ejemplo, si nuestro experimento consisten en lanzar una moneda al aire y, se realiza más de 1000 veces seguidas, la probabilidad de que salga cara será del 50%. Esto es así porque la probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento es de 1/2.

En palabras de Pickover (2014), dada una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticas distribuidas con varianza y media poblacional finitas, el promedio de las observaciones se acercará a la media teórica de la población.

Veamos otro ejemplo. Imaginemos que ahora dejamos la moneda y cogemos un dado clásico de seis caras. Sabemos que la media de los valores que podremos obtener está en 3,5 porque (1+2+3+4+5+6)/6=3,5. Tiramos tres veces seguidas y anotamos los resultados: 1, 3, 5. Si hacemos el promedio (media aritmética) obtendremos 3 ((1+3+5)/3=3). Este 3 es un valor cercano al promedio real. Pero según este teorema, si tiramos muchas más veces obtendremos un valor mucho más cercano a 3,5.

Tal es así, que el propio Bernoulli dijo que "si las observaciones de todos los acontecimientos continuaran hasta el infinito, todos los sucesos del mundo se darían en proporciones fijas (...) y en los hechos más accidentales podríamos reconocer una especie de predestinación".

Vista la teoría, no es de extrañar que la Ley de los Grandes Números sea uno de los teoremas favoritos de los Casinos. Los cuales pueden confiar en resultados estables a largo plazo y actuar en consecuencia.

Fuente bibliográfica

• Pickover, C. A. (2014). El libro de las Matemáticas: de pitágoras a las 57ª dimensión. Librero.

Sigma y Jacob Sierra Díaz

Animal misterioso

Duermo en una cama que jamás se arruga. De todas las hierbas, prefiero la lechuga. Tengo orejas largas y una cola diminuta. Si echamos una carrera gano sin disputa.

¿Quién soy?

Respuesta

¿Ya sabes quién es? Haz clic en el siguiente enlace para comprobarlo.

Solución de "Animal misterioso" [Clic aquí para acceder]

Jacob Sierra Díaz

RESPUESTA. Animal misterioso

 ¿Crees que ya sabes qué animal es? 

Sigue leyendo solo cuando tengas por lo menos un animal en mente que coincida con la descripción. Si te remuerde la conciencia, haz clic en el siguiente enlace para volver a la adivinanza y seguir pensando:

Adivinanza "Animal misterioso" [Clic aquí para acceder]

Si estás leyendo estas líneas, sabrás que el animal al que nos referimos en la liebre. Si no lo has adivinado ¡no te preocupes! Seguro que la siguiente lo conseguirás.

Jacob Sierra Díaz

San MateValentín-21

En este día tan especial para las parejas y las personas enamoradas os regalamos una particular flor en forma de la siguiente fórmula matemática:

• r^2 = sin(3ø)^2+cos(0,8-r)

• Donde "sin" es el seno y el "cos" es el coseno

Si representamos esta función en un eje cartesiano, de manera manual o a través de un software especial como Quick Graph, veremos lo que significa. ¡Esperamos que os guste!

¡Feliz día de San Valentín!

Jacob Sierra Díaz

El monarca

Adivina adivinanza, ¿qué tiene el rey en la panza?

Respuesta

Haz clic en el siguiente enlace para saber la solución de esta clásica adivinanza.

Solución de "El monarca" [Clic aquí para acceder]

Jacob Sierra Díaz

RESPUESTA. El monarca

Esta es una de las adivinanzas más populares. Si quieres acceder a la adivinanza antes de seguir leyendo, haz clic en el siguiente enlace:

Adivinanza "El monarca" [Clic aquí para acceder]

¿Qué tiene el rey en la panza? El ombligo. Un ombligo muy real.

Jacob Sierra Díaz

Diagrama de sectores con R

El Diagrama de Sectores es una de las formas de representar datos de una variable de naturaleza cualitativa. Este tipo de variable poseen valores no numéricos como por ejemplo, el color del pelo o el género de los participantes de una muestra. Este gráfico se obtiene dividiendo un círculo (de 360º) en tantos sectores como valores contenga la variable cualitativa. El área de cada sector es proporcionar al número de individuos al que representa. Obtener un diagrama de sectores con el programa R es muy sencillo. Tan solo hay que invocar la función pie(x).

1.- ¿Qué son los diagramas de sectores?

Los diagramas de sectores, diagramas de tartas o diagramas polares son una forma muy eficaz de representar variables cualitativas. Este tipo de variables tienen distintos valores. Una variable cualitativa puede ser, por ejemplo, el color del pelo y puede incluir estos valores: marrón, rojo, negro o blanco. Cada valor tendrá asociado un sector determinado en el diagrama. Su tamaño o área será proporcional a su frecuencia (veces que se presenta el valor en cuestión). En realidad, el área de cada sector se determina por su ángulo que, tal y como acabamos de ver, vendrá determinado por su frecuencia.

• La suma de todos los ángulos de los sectores que representan cada valor de la variable deberá dar 360º (el círculo completo).

• El ángulo de cada sector al que representa un valor concreto se puede obtener con una sencilla regla de tres.

• Aunque haya muchas forma de representar a un diagrama de sectores, la forma de construirlo es idéntica y común: todo depende de los ángulos.

¿Realmente es útil elaborar un diagrama de sectores manualmente? Bueno, como hemos observado no es muy complicado. Pero lo cierto es que existen programas informáticos que permiten la representación gráfica de una manera muy sencilla. Hoy vamos a ver cómo se hacen los diagramas de sectores con el programa estadístico R. Pero, antes de empezar, propongamos un caso práctico para contextualizar la explicación.

2.- Ejemplo práctico

El alcalde de un pequeño pueblo de la costa del levante ha contratado a una empresa para realizar un conteo de las personas que viven en el municipio. Además, el alcalde desea saber también el total de vecinos y vecinas. Una vez recogida toda la información, la empresa responsable del trabajo le da al alcalde la tabla de la izquierda. Pero el alcalde no quiere que le presenten los resultados en una tabla y pide que lo hagan de una manera más visual para así  poder publicarlo en la página web del ayuntamiento. Entonces, la empresa decide hacer un diagrama de sectores.

3.- Procedimiento

(0) Abrimos el software R en nuestro ordenador. El símbolo > indica el lugar donde procederemos a introducir los datos, funciones u otro tipo de información.

(1) En primer lugar, debemos introducir los datos o valores de la tabla. Para ello, designaremos el nombre de la variable, por ejemplo, genero seguido de <, - y c. Ahora, pondremos los valores entre paréntesis. Cuando hayamos acabado, pulsamos la tecla Enter. En nuestro caso:

> genero <-c(253,246,10)

(2) A continuación, invocaremos la función pie(x). Esta función elaborará un diagrama de sectores con la variable que pongamos entre los paréntesis y que previamente hayamos introducido. En nuestro caso es la variable genero, por lo tanto sustituimos en la función pie(x) la x por genero. Si nuestra variable se hubiese llamado por ejemplo x1 deberíamos escribir pie(x1). Cuando hayamos acabado de escribir la función pulsaremos la tecla Enter.

> pie(genero)

R nos acaba de generar el diagrama de sectores. Date cuenta que el primer valor (1) que hemos introducido en la variable genero corresponde con hombres, el segundo (2) con mujeres y el tercero (3) con prefiere no decirlo. El orden de entrada de datos es algo muy importante para decirle a la máquina cierta información sobre un determinado valor de la variable.

Así es como se elaboran diagramas de sectores en R. Sin embargo, seguramente quieras modificar ciertas cosas como el título, el nombre de cada valor o incluso los colores. ¡Descubramos cómo se puede personalizar el diagrama!

(3) Podemos añadir un título a nuestro diagrama de sectores con el argumento main="nombre". Date cuenta que a esto lo hemos llamado argumento en lugar de función ya que los argumentos modifican ciertas cualidades de la función (y por lo tanto se escriben dentro de la función). Además, ten en cuenta que cualquier texto que pongamos deberá ir entre comillas. Entonces, volveremos a escribir la función pie(genero), introduciremos una coma detrás del nombre de la variable (genero) y pondremos el argumento main="Vecinos del pueblo", por ejemplo.

> pie(genero,main="Vecinos del pueblo")

(4) Es posible cambiar los nombres de este gráfico con el argumento labels="nombre". Este argumento deberá ir dentro de la función pie(x). Sin embargo, antes de ejecutar la función con el argumento, debemos introducir los nombres de los valores previamente, respetando el orden establecido. En nuestro ejemplo, el 1 corresponde con Hombres, el 2 con Mujeres y el 3 con Sin información. Entonces, debemos escribir un nuevo nombre  (en este caso lo hemos llamado nombre) seguido de <, -, c y los nombres entre comillas, separados por comas e incluidos en un paréntesis. Ahora, ya podremos llamara a la función con el argumento para que nos sustituya los números en el diagrama por los nombres.

> nombre <- c("Hombre","Mujer","Sin información")

> pie(genero,main="Vecinos del pueblo",labels=nombre)

Date cuenta que para que se conserve el título anterior, debemos de ponerlo como argumento. Si no lo escribiésemos en la función, nos saldrían únicamente los nombres de los sectores.

(5) Por último, vamos a ver la forma que tenemos para cambiar los colores del gráfico. Para ello usaremos el argumento col=c(z). Entre paréntesis (z) deberemos poner los números que corresponderá a determinados colores. R tiene configurado una relación de números del 0 al 9 con colores básicos. Veamos:

0 --- Blanco

1 --- Marrón

2 --- Rojo

3 --- Verde

4 --- Azul oscuro

5 --- Azul claro

6 --- Morado

7 --- Amarillo

8 --- Gris

9 --- Negro

Entonces, por ejemplo, si quisiésemos poner el sector de los Hombres en rojo debemos escoger el 2. Si quisiésemos poner el sector de las Mujeres en Amarillo debemos poner el 7. Y, si quisiésemos poner el sector de Sin información en Negro debemos poner el 9. Recuerda que debemos respetar el orden y debemos introducir este argumento dentro de nuestra función pie(x).

> pie(genero,main="Vecinos del pueblo", labels=nombre, col=c(2,7,9))

R ofrece muchas otras opciones y argumentos para seguir modificando el diagrama de sectores. Sin embargo, las que hemos visto son las más populares y básicas. Cuando hayamos terminado de modificarlo, podremos copiarlo y pegarlo en el lugar que deseemos. También podremos guardarlo en formato .pdf automáticamente. Para finalizar, recordar que esta forma de representar datos es exclusiva de variables con una naturaleza cualitativa.

Sigma y  Jacob Sierra Díaz

Febrero (2021): el cielo del mes

Febrero es el mes más corto del año. Pero eso no significa que no tengamos citas importantes con nuestro cielo estrellado. Este es el calendario astronómico con los eventos que no debes perderte durante un mes "perfecto" que empieza en lunes y acaba en domingo.

Si tienes paciencia y cuentas con un equipo modesto de observación (prismáticos o telescopio) puedes probar a comprobar la reducción del brillo de la estrella Algol (en la constelación de Perseo) el día 12 de febrero. Además, también te animamos a que veas tres planetas "muy unidos" entre los días 20 y 28 del mes. Mercurio, Júpiter y Saturno estarán muy cerca uno de otro (visto desde la Tierra) próximos al horizonte Suroeste.

Esta y otra información de los eventos astronómicos claves en febrero la tienes en la guía que se adjunta en el siguiente enlace. Recuerda que también puedes acceder a ella desde la página oficial de AstroCuenca.

Guía del cielo de Febrero (2021) [Clic aquí para acceder]

No olvides seguir las recomendaciones de seguridad aplicadas en tu región.

¡Buenas noches y buenos cielos!

Jacob Sierra Díaz y AstroCuenca