La "gran" ley de los grandes números

En el año 1713 se publicó un libro que se titulaba Ars Conjectandi (El arte de hacer conjeturas). En este libro aparecía por primera vez la demostración de la Ley de los Grandes Números propuesta por Jacob Bernoulli (1654-1705).

La Ley de los Grandes Números es en realidad un teorema de probabilidad que describe la estabilidad a largo plazo de una variable aleatoria. Es decir, cuando el número de observaciones de un experimento aleatorio es muy grande, la aparición porcentual de un resultado será muy cercana a la probabilidad del resultado.

• Por ejemplo, si nuestro experimento consisten en lanzar una moneda al aire y, se realiza más de 1000 veces seguidas, la probabilidad de que salga cara será del 50%. Esto es así porque la probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento es de 1/2.

En palabras de Pickover (2014), dada una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticas distribuidas con varianza y media poblacional finitas, el promedio de las observaciones se acercará a la media teórica de la población.

Veamos otro ejemplo. Imaginemos que ahora dejamos la moneda y cogemos un dado clásico de seis caras. Sabemos que la media de los valores que podremos obtener está en 3,5 porque (1+2+3+4+5+6)/6=3,5. Tiramos tres veces seguidas y anotamos los resultados: 1, 3, 5. Si hacemos el promedio (media aritmética) obtendremos 3 ((1+3+5)/3=3). Este 3 es un valor cercano al promedio real. Pero según este teorema, si tiramos muchas más veces obtendremos un valor mucho más cercano a 3,5.

Tal es así, que el propio Bernoulli dijo que "si las observaciones de todos los acontecimientos continuaran hasta el infinito, todos los sucesos del mundo se darían en proporciones fijas (...) y en los hechos más accidentales podríamos reconocer una especie de predestinación".

Vista la teoría, no es de extrañar que la Ley de los Grandes Números sea uno de los teoremas favoritos de los Casinos. Los cuales pueden confiar en resultados estables a largo plazo y actuar en consecuencia.

Fuente bibliográfica

• Pickover, C. A. (2014). El libro de las Matemáticas: de pitágoras a las 57ª dimensión. Librero.

Sigma y Jacob Sierra Díaz