Ecuaciones de dimensiones

Una ecuación de dimensión consiste en escribir una ecuación a partir de sus magnitudes fundamentales. Son tres las magnitudes fundamentales: masa (que se expresa en el Sistema Internacional, SI, con kg), longitud o espacio (m) y tiempo (s). Digamos (saliendo un poco del rigor científico) que estas tres magnitudes son los ladrillos básicos que usaremos para construir nuevas magnitudes que denominaremos magnitudes derivadas.

Pues bien, tal y como se puede observar en la ilustración anterior, las letras rojas representan las dimensiones básicas de las magnitudes fundamentales. Cuando vayamos a hacer referencia a las dimensiones, debemos expresarlas entre corchetes. 

Construcción de la ecuación de dimensión de la velocidad

A partir de las tres magnitudes fundamentales podemos construir la ecuación de dimensión de la velocidad. Para ello, lo primero que debemos hacer es buscar la definición de velocidad: 

• Velocidad (V). La velocidad es espacio (e) partido por tiempo (t). Su unidad es el metro partido por segundo (m/s). 

• V = e/t = m/s

• Ahora se convierten estos valores en dimensiones. 
• [V] = [e]/[t]
• Sustituyo por las letras mayúsculas de arriba => [V] = L/T
• Como a los físicos no les gustan las fracciones:

Construcción de la ecuación de dimensión de la aceleración

Partimos de la definición de aceleración.

• Aceleración (a). La aceleración se define como velocidad (v) entre tiempo (t). Su unidad es metro por segundo elevado a menos dos (o también metro partido por segundo al cuadrado).

• a = v/t

• Dimensión de la aceleración: 
• Sustitución de las letras por dimensiones => [a] = [v]/[t]
• En efecto, para obtener la aceleración debemos recurrir a la velocidad. 
• [a] = (L/T)/T o en forma lineal:

Construcción de la ecuación de dimensión de la fuerza

Partimos de la definición de la fuerza.

• Fuerza (F): Se dice que la fuerza es masa (m) por aceleración (a). Su unidad es el Nw (Newton).

• F = m · a

• Dimensionalmente: 
• Sustitución en dimensiones => [F] = [a] · [m] 
• Cambio a dimensiones => [F] = M · L / T^-2

 

  

Dimensión de la cantidad de trabajo

Partimos de la definición de la cantidad de trabajo. 

• Cantidad de trabajo (P): Normalmente se escribe con P y es la masa (m) por la velocidad (v). Su unidad es el Kg por metro por segundo elevado a menos uno.

 

• P = m · v

 

• Dimensionalmente: [P] = [m] · [v]

Dimensión del trabajo 

• Trabajo (t). Es la fuerza (F) por el espacio (e). Su unidad es el Julio (J). El Julio es Nw · m

 

• t = F · e

 

• Dimensionalmente: 
• [t] = [F] · [e] 
• [t] = M · L · T^-2 · L

  
 

Dimensión de la energía cinética 

• Energía cinética (Ec). Es la que tiene un cuerpo en movimiento. Su unidad es también el J.

 

• Ec = 1/2 · m · v^-2

 

• Dimensión de Ec: 
• [Ec] = 1 · [m] · [v]²
• [Ec] = 1 · M · (L · T^-1)²

 

Dimensión de la energía potencial

• Energía potencial (Ep). Es la que tiene un cuerpo debido a su forma o posición que ocupa. Su unidad también es el J

• Ep = m · g · h. Donde g es la aceleración de la gravedad y ha es la altura

• Dimensionalmente: 
• [Ep] = [m] · [g] · [h] 
• [Ep] = M · L · T^-2 · L

• Date cuenta que tanto la energía cinética, como la potencial y el trabajo t tienen las mismas ecuaciones de dimensiones

Dimensión de potencia

• Potencia (P ó W). Trabajo (t*) por unidad de tiempo (t). Normalmente se expresa con P o con W. La unidad es el Watio (W).

• P o W = t*/t. Usamos el asterisco para diferenciar trabajo de tiempo.

• Dimensionalmente: 
• [W] = [t*] / [t] 
• [W] = M · L² · T^-2 / T

• En dimensiones, un número o una constante así como los números áureos, pi .... son siempre 1.

Otras dimensiones

Estas son algunas de las dimensiones más importantes. Pero en Física hay más (que incluso pueden ser más sencillas de entender). Todas ellas, se pueden elaborar de la definición de la propia magnitud y tal vez de otras dimensiones previamente elaboradas.

• Superficie -  [S] = L · L ; [S] = L²

• Volumen - [V] = L³

• Masa - [M] = M / L³ ; [M] = M · L^-3

• Densidad - [D] = M · L^-3

Jacob Sierra Díaz y Sigma